1、天津市耀华中学2020-2021学年高二数学上学期第二次阶段检测试题（含解析）第卷（选择题）一、选择题：在每小题的4个选项中，只有项是符合题目要求的.1. 双曲线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将方程整理成标准形式可得双曲线基本量，进一步可得焦点坐标.【详解】由得：，所以焦点坐标.故选:C【点睛】此题考查由双曲线的标准方程求基本量的方法，属于基础题.2. 已知数列是等差数列，若，则公差（）A. 0B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d的值【详解】解：数列是等差数列设公差为，若， ，解得故选D【点睛】本题主要考查
2、等差数列的通项公式，属于基础题3. 设抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由抛物线方程得到，再由抛物线定义，即可求出结果.【详解】解：因为抛物线方程，所以，由抛物线的定义可得：故选【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到焦点距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.4. 已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于，两点（点，异于椭圆长轴端点），则的周长为（ ）A. 10B. 20C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】由椭圆定义得的周长为可得答案.【详解】由已知，由椭圆定义得，的周长为，故选：B.5. 已知中心在原点的椭
3、圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，又，可得，进而利用即可求解.【详解】由椭圆的右焦点为知，又，所以椭圆方程为.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆方程与椭圆几何性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.6. 下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（ ）A 与B. 与C. 与D. 与【答案】A【解析】试题分析：双曲线中，b=1，c=2.，渐近线A：，渐近线，符合；B：e=2，渐近线，不符合C：e=2，渐近线，不符合：D：，渐近线，不符合考点：双曲线的简单性质7. 已知双曲线，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支
4、有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】要使过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，需使双曲线的渐近线的斜率小于1，故选A8. 已知数列中，则数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】条件中给出“后项减前项”的条件，利用累加法即可.【详解】因为，所以（）又，利用累加法，有故选：C.9. 若数列an满足，则的值为（ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出，得到数列是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果.【详解】由题意知，因此数列是周期为4的周期数列，.故选D.【点睛】本题主要考查的
5、是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.10. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和公式可得，由等差数列的性质可知，结合已知可得，即可判断【详解】解：等差数列中，且满足，由等差数列的性质可知，首项，公差，则的最大项为故选C【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题11. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可得，解出即可【详解】因为对于任意都有，所以，解得故选：C12. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、
6、，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，若，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线的定义，求得，在根据双曲线的对称性得，在中，利用余弦定理，即可求解，进而得到双曲线的渐近线的方程.【详解】由题意，知，又由双曲线的定义可知，所以，又因为，如图所示，则，在中，由余弦定理可的，整理得，又由，所以，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中利用双曲线的定义求得，再在中，利用余弦定理求得是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.第
7、卷（非选择题）二、填空题：13. 准线方程为的抛物线的标准方程是_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求【详解】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得该抛物线的标准方程是故答案为：【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题14. 若双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，则该双曲线的标准方程为_.【答案】【解析】试题分析：由已知椭圆的焦点为，故双曲线的焦点在轴，半焦距为，设出曲线的方程，利用待定系数法，即可求解双曲线的方程.试题解析：易知已知椭圆的焦点为，故双曲线的焦点在轴，半
8、焦距为3，设双曲线方程，代入，得，整理得，解得或（舍），故双曲线方程为.考点：椭圆与双曲线的几何性质.15. 已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_.【答案】16.【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：，解得：，则.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.16. 已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由已知可得，结合双曲线的定义可知，结
9、合 ，从而可求出离心率.【详解】解：,，又，则.，即解得，即.故答案为: .【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.17. 设等差数列，的前项和分别为，若对任意自然数都有，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质可得：再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. 设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三
10、角形的面积为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.三.解答题：19. 已知点A(0，2)，椭圆E： (a
11、b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆的方程为.
12、（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.20. 已知公差大于0的等差数列的前n项和为，且满足，
13、.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的表达式；（3）若，存在非零常数，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求k的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）根据数列的基本量，结合下标和性质，列出方程，求得首项和公差，则问题得解；（2）讨论的正负，分类讨论，即可求得；（3）根据（1）中所求可得，根据其为等差数列，求得，将问题转化为存在性问题，即可求得的取值范围.【详解】（1）因为数列是等差数列，故可得，结合，容易得或，因为，故可得，则，解得，故.故.（2）根据（1）中所求，令，解得，故数列的前项均为负数，从第8项开始都为正数.当时，；当时，.综上所述：.（3）由（1）中所求，可知，故可得，因为存在非零常数，使得其为等差数列，故可得，即，整理得，解得，舍去.故.则存在，不等式成立等价于存在，不等式成立.则只需，根据对勾函数的单调性，且当时，；当时，故的最小值为.则即可.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解，涉及含绝对值的数列前项和的求解，由数列类型求参数值，以及用函数思想求数列的最值，属综合中档题.
