1、4.5函数y=Asin(x+)的图象与应用必备知识预案自诊知识梳理1.y=Asin(x+)的有关概念y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)振幅周期频率相位初相AT=2f=1T=2x+2.用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示x0-2-32-2-x+02322y=Asin(x+)0A0-A03.由y=sin x的图象得y=Asin(x+)(A0,0)的图象的两种方法y=Asin(x+)(A0,0)的图象的作法:(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取0,2,32,2来求出相应的x,通过列表,计算
2、得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先后”)与“先伸缩后平移”(即“先后”).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sin12x.()(2)将y=sin 2x的图象向右平移3个单位长度,得到y=sin2x-3的图象.()(3)函数f(x)=Asin(x+)(A0)的最大值为A,最小值为-A.()(4)如果y=Acos(x+)的最小正周期为T,那么函数图象的两
3、个相邻对称中心之间的距离为T2.()(5)若函数y=Asin(x+)为偶函数,则=2k+2(kZ).()2.将函数y=2sin2x+6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2x+4B.y=2sin2x+3C.y=2sin2x-4D.y=2sin2x-33.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=2(sin 2x+cos 2x)的图象,只需把函数y=2sin 2x图象上所有的点()A.向左平移4个单位长度B.向左平移8个单位长度C.向右平移4个单位长度D.向右平移8个单位长度4.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+6的图象平移后对应函数g(x
4、)=sinx+6+的图象,若g(x)为偶函数,则|的最小值为()A.6B.3C.23D.565.(2020江苏,10)将函数y=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.关键能力学案突破考点函数y=Asin(x+)的图象及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解题心得对函数y=Asin(x+)(A0,0,0),其图象的基本变换有:(1)纵向伸缩变换:伸长A增大,缩短A减小.(2)横向伸缩变换:伸长周期增大减小;缩短周期减小
5、增大.(3)横向平移变换:左移1个单位长度,y=Asin(x+1)+;右移1个单位长度,y=Asin(x-1)+.(4)上下平移:上移1个单位长度y=Asin(x+)+1;下移1个单位长度y=Asin(x+)-1.对点训练1已知函数y=2sin2x+3.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图象;(3)说明y=2sin2x+3的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.考点求函数y=Asin(x+)的解析式(多考向探究)考向1由函数的图象求函数y=Asin(x+)的解析式【例2】(1)(多选)(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(x
6、+4)A0,0,00,0,|0,0)的解析式的步骤和方法:(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2.(2)求:确定函数的最小正周期T,则可得=2T.(3)求:把图象上的一个已知点代入来求.寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,x+=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,x+=2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,x+=;“第四点”(即图象的“谷点”)时,x+=32;“第五点”时,x+=2.对点训练2(1)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,00,0,|0,0)只能同时满足下列条件中的两个:函数f(
7、x)的最大值为2,函数f(x)的图象可由y=2sinx-4的图象平移得到,函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;(2)求方程f(x)+1=0在区间-,上所有解的和.解题心得由函数y=Asin(x+)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定,由函数的奇偶性或对称性确定.对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x-6-2cos2x+6(a0),且满足.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=1在区间0,m上有两个不同解,求实数m的取值范围.从f(x)的
8、最大值为1,f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于,f(x)的图象过点6,0这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.考点函数y=Asin(x+)的模型的应用【例4】据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(x+)+BA0,0,|0.(1)若函数f(x)的最小正周期为2,求的值;(2)若函数f(x)在区间0,2上的最大值为32,求的取值范围.4.5函数y=Asin(x+)的图象与应用必备知识预案自诊考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.D由已知周期T=,则14T=4,故右移4个单位长度后得y=2sin2x-4+6=2sin2x-3
9、的图象,故选D.3.B由题得,y=2(sin2x+cos2x)=2sin2x+4=2sin2x+8,故选B.4.B因为函数g(x)=sinx+6+为偶函数,所以6+=k+2(kZ),解得=k+3(kZ).当k=0时,=3,即|的最小值为3.5.x=-524将函数y=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度后得到函数y=3sin2x-6+4=3sin2x-12的图象.由2x-12=2+k,kZ,得平移后的对称轴的方程为x=724+k2,kZ.当k=0时,x=724,当k=-1时,x=-524.所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-524.关键能力学案突破例1解(1)根据表中已知数据,解得A=5,
10、=2,=-6.数据补充完整如下表x+02322x123712561312Asin(x+)050-50函数解析式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sinx图象的对称中心为(k,0),kZ,所以令2x+2-6=k,kZ,解得x=k2+12-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0成中心对称,令k2+12-=512,kZ,解得=k2-3,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值6.对点训练1解(1)y=2sin2x+3的振幅A=2,周期T=22=,初相=3.(2)令x=2x+3,则y=2sin2x+3=2sin
11、x.列表,x-612371256x=2x+302322y=2sin2x+3020-20描点画图得函数图象,(3)把y=sinx的图象上所有的点先向左平移3个单位长度,得到y=sinx+3的图象,再把y=sinx+3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x+3的图象,最后把y=sin2x+3上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+3的图象.例2(1)ABD(2)A(1)由图可知,A=2,T4=,所以T=4=2,解得=12,故f(x)=2sin12x+4.因为图象过点C(0,1),所以1=2sin4,即sin4=12.因为08,所以04
12、2,所以4=6,则f(x)=2sin12x+6,故A选项正确;若其纵坐标不变,横坐标变为原来的14,所得到的函数解析式为y=2sin2x+6,再向右平移6个单位长度,所得到的函数解析式g(x)=2sin2x-6+6=2sin2x-6,故B选项正确;当x=-3时,f-3=2sin0=0,则x=-3不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C选项错误;令2k-22x-62k+2(kZ),得k-6xk+3(kZ),故函数g(x)的单调递增区间是k-6,k+3(kZ),当k=1时,g(x)在区间56,43上单调递增,故D选项正确.(2)由题图知,A=2,周期T=23-6=,所以=2=2,y=2sin(2x+
13、).(方法1)因为函数图象过点3,2,所以2=2sin23+.所以23+=2k+2(kZ).因为|2,故令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6,故选A.(方法2)因为函数图象过点-6,-2,所以-2=2sin2-6+,所以2-6+=2k-2,kZ,即=2k-6,kZ.因为|2,故令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6.故选A.对点训练2(1)B(2)D(1)由题图可知A=2,T=232-2=4,故2=4,解得=12.所以f(x)=2sin12x+.把点-2,2代入可得2sin12-2+=2,即sin-4=1,所以-4=2k+2(kZ),解得=2k+34(kZ).又0,所以=34.所
14、以f(x)=2sin12x+34.(2)由图象可得A=2,最小正周期T=4712-3=,则=2T=2.由f712=2sin76+=-2,|0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.若选,则a=1,函数f(x)=2sin2x-6-1;若选,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-6-1;若选,则(a+1)sin26-6-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-6-1.(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.因为关于x的方程f(x)=1在区间0,m上有两个不同解,当x0,m时,2x-6-6,2m-6,所以522m-692,解得43m0,0,|
15、2的简图如图所示,由题意知A=2000,B=7000,T=2(9-3)=12,=2T=6.故f(x)=2000sin6x+7000,图象过点(3,9000),则有63+=2,=0,故f(x)=2000sin6x+7000(1x12,xN*),f(7)=2000sin76+7000=6000(元).对点训练4(1)C(2)20.5(1)设水深的最大值为M,由题意并结合函数图象可得3+k=M,k-3=2,解得M=8.(2)由题意得a+A=28,a-A=18,即a=23,A=5,所以y=23+5cos6(x-6),令x=10,得y=20.5.例5解(1)由已知f3=1,得2a1212=1,解得a=2.所以f(x)=4cosx32sinx-12cosx=23sinxcosx-2cos2x=3sin2x-cos2x-1=2sin2x-6-1.所以f(x)=2sin2x-6-1的最小正周期为.(2)f()=-13,2sin2-6-1=-13,sin2-6=13,因为0,2,所以2-6-6,56.又因为sin2-6=130,所以-6x-62-6.若f(x)在区间0,2上的最大值为32,只需2-62,所以43,即的取值范围为43,+.
