1、第2课时利用导数研究函数的极值、最大(小)值必备知识预案自诊知识梳理1.导数与函数的极值(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.2.导数与函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间a,b上有最
2、大(小)值的条件如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤求函数y=f(x)在区间(a,b)上的;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值比较,其中的一个是最大值,的一个是最小值.1.对于可导函数f(x),f(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.2.若f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上有最大值与最小值;若f(x)在a,b上具有单调性,则f(x)的最大值与最小值在区间端点处取得;若f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,则极大(小)值点也是f(x)的最大
3、(小)值点.3.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:不等式f(x)g(x),即f(x)-g(x)0,构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:通过等价变换把不等式转化为左右两边具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x);(4)放缩法:若所给不等式不易求解,可将不等式进行放缩,然后构造函数进行求解.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)导数为零的点不一定是极值点.
4、()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()2.函数f(x)=43x3-6x2+8x的极值点是()A.x=1B.x=-2C.x=-2和x=1D.x=1和x=23.设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点4.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.05.(2020河南开封三模,理7,文9)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则c=()A.-2或-6B.2或
5、6C.2D.6关键能力学案突破考点讨论函数极值点的个数【例1】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间极值最大(小)值问题的具体步骤:(1)求函数定义域.(2)求导通分或因式分解或二次求导.(3)对参数分类,分类的层次:按导函数的类型分大类;按导函数是否有零点分小类;在小类中再按导函数零点的大小分小类;在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.对点训练1设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b0.(1)当b12时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)求函数f(x)的极值点.考点求
6、函数的极值、最大(小)值【例2】已知函数f(x)=ln x-kx+k(kR),求f(x)在1,2上的最小值.解题心得求最大(小)值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最大(小)值.若有唯一的极值点,则其为最值点.对点训练2(2020北京,19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.考点在恒成立中求参数的极值、最大(小)值【例3】设a0,若ln1+|x|1-|x|a|x|对x(-1,1)恒成立,求a的最大值.
7、解题心得洛必达法则:如果当xx0(x0也可以是)时,两个函数f(x)和g(x)都趋向于零或都趋向于无穷大,那么极限limxx0f(x)g(x)可能存在,也可能不存在.我们称这类极限为00型或型不定式极限.对于这类极限,一般要用洛必达法则来求.定理1:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g(x)0.(2)limxx0f(x)=limxx0g(x)=0.(3)limxx0f(x)g(x)=a,则有limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)=a.定理2:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内
8、可导,且g(x)0.(2)limxx0f(x)=limxx0g(x)=.(3)limxx0f(x)g(x)=a,则有limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)=a.在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则.对点训练3(2020广东茂名一模,理20)设函数f(x)=ex-mx+n,曲线y=f(x)在点(ln 2,f(ln 2)处的切线方程为x-y-2ln 2=0.(1)求m,n的值;(2)当x0时,若k为整数,且x+1(k-x)f(x)+x+1,求k的最大值.考点已知函数的极值求参数的取值范围【例4】设函数f(x)=exx2-k2x+ln x(k为常数
9、,e=2.718 28是自然对数的底数).(1)当k0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求k的取值范围.解题心得1.由于极值点对应的函数的导数值为0,所以对函数进行求导后,先考查导函数的哪一部分的符号不为0,然后把可能为0的部分构造成新的函数进行研究,这样将复杂的问题进行等价转化为简单的问题是解决已知函数极值情况求参数的取值范围的常用方法.2.f(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.对点训练4(2020江西名校大联考,理21)已知函数f(x)=ln
10、x+ax+x(aR).若函数f(x)在区间(1,+)上有极值,求实数a的取值范围.考点利用导数求实际问题中的最值【例5】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(单位:米)与D到OO的距离a(单位:米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(单位:米)与F到OO的距离b(单位:米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥
11、墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价32k(单位:万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?解题心得关于三角函数、几何图形面积、几何体体积及实际问题中的最值问题,最初的解题思路往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.对点训练5(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方
12、形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为cm.第2课时利用导数研究函数的极值、最大(小)值必备知识预案自诊知识梳理1.(1)都小f(x)0(2)都大f(x)0f(x)02.(1)连续不断(2)极值f(a),f(b)最大最小考点自诊1.(1)(2)(3)(4)2.D由f(x)=4x2-12x+8=4(x-2)(x-1)=0得x=1或x=2,当x0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.可得函数f(x)的极值点为x=1和x=2.故选D.3.Df(x)=ex+xex=(1+x)ex.令f(x)=0,则x=-1.当x-1时,f(x)-1时,f(x)0,则x=-1为f(x)的极小值点.4.B因
13、为f(x)=1x-1=1-xx,当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,e时,f(x)-1),当a=0时,g(x)=1,则f(x)0在(-1,+)上恒成立,则f(x)在(-1,+)上单调递增,即当a=0时,函数无极值点.当a0时,由=a(9a-8)0,得0a89,此时g(x)0,则f(x)0,f(x)在(-1,+)上单调递增,即00,得a89或a0两个不同的范围,设方程2ax2+ax+1-a=0的两根分别为x1,x2(x189时,函数g(x)的图象如图1所示,x1,x2的中点为-14,x1-14,由g(-1)=10,可得-1x10,则f(x)0,f(x)单调递增,当x(x1,x2)时,g(x)
14、0,则f(x)0,则f(x)0,f(x)单调递增,因此,当a89,函数有两个极值点;当a0,可得x10,则f(x)0,f(x)单调递增,当x(x2,+)时,g(x)0,则f(x)0,f(x)单调递减,因此,当a0时,函数有一个极值点.综上所述,当a89时,函数有两个极值点.对点训练1解(1)函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域为(-1,+),f(x)=2x+bx+1=2x2+2x+bx+1.令g(x)=2x2+2x+b,则=4-8b.当b12时,0,于是当b12时,函数f(x)在定义域(-1,+)上单调递增.(2)首先考虑g(x)=0是否有实根.当12时,由(1)知函数f(x)无极值点
15、.当=0,即b=12时,g(x)=0有两个相等的实根,g(x)0在(-1,+)上恒成立,于是f(x)0在(-1,+)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,+)上单调递增,从而函数f(x)在(-1,+)上无极值点.当0,即b12时,g(x)=0有两个不相等的根x1=-1-1-2b2,x2=-1+1-2b2,其中x1x2.为确定两个根是否都在定义域(-1,+)上需要对参数b分类讨论.当b0时,x1=-1-1-2b2-1,由f(x)0,可得xx2,由f(x)0,可得-1xx2,所以f(x)在(-1,x2)上单调递减,在(x2,+)上单调递增,所以当b0时,f(x)在(-1,+)上有唯一极小值点x2=-
16、1+1-2b2.当0b-1,x2=-1+1-2b2-1,由f(x)0,可得-1xx2,由f(x)0,可得x1xx2,所以f(x)在(-1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+)上单调递增,所以当0b12时,f(x)在(-1,+)上有一个极大值点x1=-1-1-2b2和一个极小值点x2=-1+1-2b2.综上所述,当b0时,f(x)在(-1,+)上有唯一的极小值点x2=-1+1-2b2;当0b0,函数f(x)在1,2上单调递增,所以f(x)min=f(1)=0.当k0时,由f(x)0,可得0x1k,由f(x)1k,所以f(x)在0,1k上单调递增,在1k,+上单调递减.于是
17、f(x)在1,2上的最小值为f(1)=0或f(2)=ln2-k.()当0ln2-k,即0kln2时,f(x)min=f(1)=0.()当0ln2-k,即kln2时,f(x)min=f(2)=ln2-k.综上所述,当k0(当t0,得t2,由S(t)0,得0t0时,有aln1+t1-tt对t(0,1)恒成立.令G(t)=ln1+t1-tt,则G(t)=2t1-t2-ln1+t1-tt2,令H(t)=2t1-t2-ln1+t1-t,则H(t)=2+2t2(1-t2)2-21-t2=4t2(1-t2)20,所以H(t)在(0,1)上单调递增,于是H(t)H(0)=0,即G(t)0,所以G(t)在(0,
18、1)上单调递增.由洛必达法则,可得limt0+G(t)=limt0+21-t21=2,于是00,所以函数F(t)在0,1)上单调递增,所以F(t)F(0)=0.当2-a2时,由F(t)0可得0t(k-x)f(x)+x+1,得x+1(k-x)(ex-1),故当x0时,等价于k0),令g(x)=x+1ex-1+x,则g(x)=-xex-1(ex-1)2+1=ex(ex-x-2)(ex-1)2,令h(x)=ex-x-2,x0,h(x)=ex-10.函数h(x)=ex-x-2在(0,+)上单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点,设此零点
19、为,则(1,2).当x(0,)时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)在(0,+)上的最小值为g(),又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3),故等价于k0.所以当0x2时,f(x)2时,f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+).(2)函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,等价于f(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根.(方法1)f(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根等价于ex-kx=0在(0,2)上有两个不同的实数根.设h(x)=ex-kx,则h(x)=ex-k.当k1时,h(x)0,所以h(x)在(0,2)上单调递增,
20、此时h(x)在(0,2)上不存在两个不同的实数根.当k1时,由h(x)0可得xlnk,由h(x)0可得x0,h(2)=e2-2k0,h(lnk)=k(1-lnk)0,0lnk2,解得eke22.综上所述,k的取值范围为e,e22.(方法2)f(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根等价于ex-kx=0在(0,2)上有两个不同的实数根,等价于k=exx在(0,2)上有两个不同的实数根,等价于y=k与g(x)=exx在(0,2)上有两个不同的交点.g(x)=xex-exx2=(x-1)exx2,当0x1时,g(x)1时,g(x)0.g(1)=e,g(2)=e22,当x0+时,g(x)+.画出g(
21、x)在(0,2)上的图象(图略),可知要使y=k与g(x)在(0,2)上有两个不同的交点,k的取值范围为e,e22.对点训练4解f(x)=lnx+ax+x(x1),f(x)=1-lnx-ax2+1=x2-lnx-a+1x2,令F(x)=x2-lnx-a+1,则F(x)=2x-1x=2x2-1x,当x(1,+)时,F(x)0,所以函数F(x)在(1,+)上单调递增,又F(1)=2-a,故当a2时,F(x)0,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增,无极值;当a2时,F(1)2时,G(x)0,函数G(x)在(2,+)上单调递增,G(2)=3-ln20,所以在(2,+)上,G(x)0恒成立,所以
22、F(a)=a2-lna-a+10,所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,此时函数f(x)存在极小值.综上,若函数f(x)在区间(1,+)上有极值,则a2.故实数a的取值范围为(2,+).例5解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当OB=40时,BB1=-1800403+640=160,则AA1=160.由140OA2=160,得OA=80.所以AB=OA+OB=80+40=120(米).(2)以O为原点,MN为x轴,OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所
23、示).设F(x,y2),x(0,40),则y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800x3-6x.因为CE=80,所以OC=80-x.设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k160+1800x3-6x+32k-140x2+4x=k1800x3-380x2+160(0x40).f(x)=k3800x2-340x=3k800x(x-20),令f(x)=0,得x=20.x(0,20)20(20,40)f(x)-0+f(x)极小值所以当x=20时
24、,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.对点训练510设EF=xcm,则AE=BF=30-x2cm,包装盒的高为GE=22xcm,因为AE=AH=30-x2cm,A=2,所以包装盒的底面边长为HE=22(30-x)cm,所以包装盒的体积为V(x)=22(30-x)222x=24(x3-60x2+900x),0x0,函数V(x)单调递增;当x(10,30)时,V(x)0,函数V(x)单调递减,所以V(x)max=V(10)=24(1000-6000+9000)=10002(cm3),即当EF=10cm时,包装盒容积取得最大值10002cm3.
