1、吉林省辽源市田家炳高中友好学校2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（理科）(解析版)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=1，0，1，B=x|1x1，则AB=（）A0B1，0C0，1D1，0，12sin600=（）ABCD3已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（1）=（）A2B0C1D24已知平面向量=（3，1），=（x，3），且，则x=（）A3B1C1D35下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=3xBf（x）=x23xCf（x）=Df（x）=|x|6要得到函数
2、的图象可将y=sin2x的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度7函数f（x）=x22ax+3在区间2，3上是单调函数，则a的取值范围是（）Aa2或a3B2a3Ca2Da38已知函数y=sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则（）A=1，=B=1，=C=2，=D=2，=9设f（x）=asin（x+）+bcos（x+）+4 （a、b、为常数），且f（2000）=5，那么f（2009）等于（）A1B3C5D710若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A（1，+）B（1，8）C4，8）D（4，8）11已知0，函数f（x）=si
3、n（x+）在（，）上单调递减，则实数的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，212已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点若x1（1，x0），x2（x0，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知ABC是边长为2的等边三角形，则=14若cos=，（0，），则tan等于15已知幂函数f（x）的图象经过点（2，），则f（）的值为16关于函数f（x）=4sin（2x+）（xR），有下列命题：y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x）；y=f（x）是以2
4、为最小正周期的周期函数；y=f（x）的图象关于点对称；y=f（x）的图象关于直线x=对称其中正确的命题的序号是三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知集合A=x|1x3，集合B=x|2mx1m（1）当m=1时，求AB；（2）若AB=，求实数m的取值范围18（12分）已知平面向量，且/，（1）求与（2）若，求向量、的夹角的大小19（12分）已知f（x）=log4（4x1）（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的单调性；（3）求f（x）在区间，2上的值域20（12分）求下列函数的最大值与最小值（1）y=2sinx3，xR（2）y=+
5、sinxsin2x，xR21（12分）已知函数f（x）=2a（cos2x+sinxcosx）+b（1）当a=1时，求函数f（x）的周期及单调递增区间（2）当a0，且x0，时，f（x）的最大值为4，最小值为3，求a，b的值22（12分）设函数f（x）对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）=2（1）证明f（x）为奇函数（2）证明f（x）在R上是减函数（3）若f（2x+5）+f（67x）4，求x的取值范围2016-2017学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60
6、分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=1，0，1，B=x|1x1，则AB=（）A0B1，0C0，1D1，0，1【考点】交集及其运算【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集【解答】解：A=1，0，1，B=x|1x1，AB=1，0故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2sin600=（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】600=720120，利用诱导公式即可求得sin600的值【解答】解：sin600=sin（720120）=sin（120）=sin120=，sin600=故选：B【点评】本题考查运用诱导公式化简求
7、值，考查转化与运算能力，属于基础题3已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（1）=（）A2B0C1D2【考点】函数奇偶性的性质【分析】由奇函数定义得，f（1）=f（1），根据x0的解析式，求出f（1），从而得到f（1）【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（x），f（1）=f（1），又当x0时，f（x）=x2+，f（1）=12+1=2，f（1）=2，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题4已知平面向量=（3，1），=（x，3），且，则x=（）A3B1C1D3【考
8、点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据题意，=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案【解答】解：根据题意，=0，将向量坐标代入可得，3x+1（3）=0，解可得，x=1，故选：C【点评】本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可5下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）=3xBf（x）=x23xCf（x）=Df（x）=|x|【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由题意知A和D在（0，+）上为减函数；B在（0，+）上先减后增；c在（0，+）上为增函数【解答】解：f（x）=3x在（0，+）上为减函数，A不正确；f（x）=x23x是开口向上对称轴为x=的抛物线
9、，所以它在（0，+）上先减后增，B不正确；f（x）=在（0，+）上y随x的增大而增大，所它为增函数，C正确；f（x）=|x|在（0，+）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，D不正确故选C【点评】本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答6要得到函数的图象可将y=sin2x的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数的平移变化，分析选项可得答案【解答】解：要得到函数的图象可将y=sin2x的图象向左平移故选B【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减7函数f
10、（x）=x22ax+3在区间2，3上是单调函数，则a的取值范围是（）Aa2或a3B2a3Ca2Da3【考点】二次函数的性质【分析】由已知中函数的解析式f（x）=x22ax+3，根据二次函数的图象和性质，判断出函数f（x）=x22ax+3在区间（，a为减函数，在区间a，+）上为增函数，由函数f（x）=x22ax+3在区间2，3上为单调函数，可得区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=x22ax+3的图象是开口方向向上，且以x=a为对称轴的抛物线故函数f（x）=x22ax+3在区间（，a为减函数，在区间a，+）上为增函数，若函数f（x
11、）=x22ax+3在区间2，3上为单调函数，则a2，或a3，故答案为：a2或a3故选A【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据函数f（x）=x22ax+3在区间2，3上为单调函数，判断出区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式是解答本题的关键8已知函数y=sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则（）A=1，=B=1，=C=2，=D=2，=【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】通过图象求出函数的周期，再求出，由（，1）确定，推出选项【解答】解：由图象可知：T=，=2；（，1）在图象上，所以 2+=，=故选D【点评】本
12、题考查y=Asin（x+）中参数的物理意义，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力9设f（x）=asin（x+）+bcos（x+）+4 （a、b、为常数），且f（2000）=5，那么f（2009）等于（）A1B3C5D7【考点】函数的值【分析】由已知利用诱导公式推导出asin+bsin=1，由此能求出f（2009）【解答】解：f（x）=asin（x+）+bcos（x+）+4 （a、b、为常数），且f（2000）=5，f（2000）=asin（2000+）+bcos（2000+）+4=asin+bsin+4=5，asin+bsin=1，f（2009）=asin（
13、2009+）+bcos（2009+）+4=asinbcos+4=1+4=3故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、诱导公式的合理运用10若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A（1，+）B（1，8）C4，8）D（4，8）【考点】函数单调性的性质；分段函数的应用【分析】让两段都单调递增，且让x=1时ax（4）x+2，解关于a的不等式组可得【解答】解：函数f（x）=是R上的增函数，解得4a8故选：C【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数和一次函数的单调性，属中档题11已知0，函数f（x）=sin（x+）在（，）上单调递减，则实数的取
14、值范围是（）A，B，C（0，D（0，2【考点】正弦函数的单调性【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得，由此求得实数的取值范围【解答】解：0，函数f（x）=sin（x+）在（，）上单调递减，则，求得，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题12已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点若x1（1，x0），x2（x0，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0【考点】函数零点的判定定理【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点 可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案【解答】解：x
15、0是函数f（x）=2x+的一个零点f（x0）=0f（x）=2x+是单调递增函数，且x1（1，x0），x2（x0，+），f（x1）f（x0）=0f（x2）故选B【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知ABC是边长为2的等边三角形，则=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可知的夹角为，然后直接代入数量积公式求解【解答】解：如图，=故答案为：2【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题14若cos=，（0，），则tan等于【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函
16、数在各个象限中的符号，求得tan的值【解答】解：cos=，（0，），sin=，则tan=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题15已知幂函数f（x）的图象经过点（2，），则f（）的值为4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设幂函数f（x）=y=x（为常数），则=2，解得即可得出【解答】解：设幂函数f（x）=y=x（为常数），则=2，解得=2f（x）=f（）=4故答案为：4【点评】本题考查了幂函数的定义及其函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16关于函数f（x）=4sin（2x+）（xR），有下列命题：y=f（x
17、）的表达式可改写为y=4cos（2x）；y=f（x）是以2为最小正周期的周期函数；y=f（x）的图象关于点对称；y=f（x）的图象关于直线x=对称其中正确的命题的序号是，【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法【分析】先根据诱导公式可判断，再由最小正周期的求法可判断，最后根据正弦函数的对称性可判断和，得到答案【解答】解：f （x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（2x+）=4cos（2x），故正确；T=，故不正确；令x=代入f （x）=4sin（2x+）得到f（）=4sin（+）=0，故y=f （x）的图象关于点对称，正确不正确；故答案为：【点评】本题主
18、要考查正弦函数的基本性质周期性、对称性，考查诱导公式的应用三角函数的基础知识是解题的关键三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（2016秋辽源期末）已知集合A=x|1x3，集合B=x|2mx1m（1）当m=1时，求AB；（2）若AB=，求实数m的取值范围【考点】并集及其运算；交集及其运算【分析】（1）m=1时，求出集体合A和B，由此能求出AB（2）由AB=，根据B=和B两种情况分类讨论，能求出实数m的取值范围【解答】解：（1）集合A=x|1x3，集合B=x|2mx1mm=1时，B=x|2x2，AB=x|2x3（2）由AB=，得：B=时，
19、2m1m，即mB时，或，解得0或，即0综上，实数m的取值范围是m|m0【点评】本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集性质的合理运用18（12分）已知平面向量，且/，（1）求与（2）若，求向量、的夹角的大小【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）由求出x的值，由求出y的值，从而得出、；（2）计算、，利用平面向量夹角的公式求出cos、，即得夹角的大小【解答】解：（1）由得3x49=0，解得x=12；由得94+xy=0，解得y=3；所以=（9，12），=（4，3）；（2）=（3，4），=（7，1）；所以=3741=25，|=5，|=5；所以cos，
20、=，所以向量、的夹角为【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键19（12分）（2016秋辽源期末）已知f（x）=log4（4x1）（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的单调性；（3）求f（x）在区间，2上的值域【考点】对数函数的图象与性质【分析】（1）根据4x10求解即可（2）利用单调性的定义判断即可（3）根据（2）问结论得出最大值，最小值即可得出值域【解答】解：（1）4x10，所以x0，所以定义域是（0，+），（2）f（x）在（
21、0，+）上单调增，设0x1x2，则f（x1）f（x2）=log4（4x11）log4（4x21）=log4又0x1x2，14x14x2，04x114x2101，即log40f（x1）f（x2），f（x）在（0，+）上单调增（3）f（x）区间，2上单调递增，最小值为log4（41）=log41=0最大值为log4（421）=log415值域为：0，log415【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题20（12分）（2016秋辽源期末）求下列函数的最大值与最小值（1）y=2sinx3，xR（2）y=+sinxsin2x，xR【考点】三角函数的最值【分析】（1）直接利用正弦函
22、数的值域求解（2）根据函数y=+sinxsin2x=（sinx）2+2，1sinx1，利用二次函数的性质求得函数的最值【解答】解：（1）1sinx1，22sinx2，52sinx31函数y=2sinx3的最大值是1最小值为5；（2）函数y=+sinxsin2x=（sinx）2+2，1sinx1，故当sinx=1时，函数取得最小值为，当sinx=时，函数取得最大值为2【点评】本题考查了正弦函数的值域、二次函数的性质应用，属于中档题21（12分）（2016秋辽源期末）已知函数f（x）=2a（cos2x+sinxcosx）+b（1）当a=1时，求函数f（x）的周期及单调递增区间（2）当a0，且x0，
23、时，f（x）的最大值为4，最小值为3，求a，b的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）当a=1时，化简函数，即可求函数f（x）的周期及单调递增区间（2）当a0，且x0，时，求出sin（2x+），1，利用f（x）的最大值为4，最小值为3，求a，b的值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2a（cos2x+sinxcosx）+b=cos2x+1+sin2x+b=sin（2x+）+1+b，函数f（x）的周期为；由2k2x+2k+，可得单调递增区间k，k+（kZ）；（2）f（x）=asin（2x+）+a+bx0，时，2x+，sin（2x+），1a0，f（x）的最大值为4，最
24、小值为3，a=1，b=3【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的化简，正确化简函数是关键22（12分）（2016秋辽源期末）设函数f（x）对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）=2（1）证明f（x）为奇函数（2）证明f（x）在R上是减函数（3）若f（2x+5）+f（67x）4，求x的取值范围【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质【分析】（1）在所给的等式中，令x=y=0，可得f（0）=0再令y=x，可得f（x）=f（x），可得函数f（x）为奇函数（2）设x1x2，则=x2x10，根据f（ x2x1 ）=f（x1）+f（x2）；以
25、及当x0时，f（x）0，可得 f（ x2x1 ）0，即f（x2）f（x1）0，即f（x1）f（x2），可得f（x）在R上是减函数（3）若f（2x+5）+f（67x）4，则f（115x）4，即f（ 115x）f（2），结合f（x）在R上是减函数可得 115x2，由此解得x的范围【解答】解：（1）由于函数f（x）对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，可得f（0）=0再令y=x，可得f（xx）=f（x）+f（x），即 0=f（x）+f（x），化简可得f（x）=f（x），故函数f（x）为奇函数（2）设x1x2，则=x2x10，f（x+y）=f（x）+f（y），f（ x2x1 ）=f（x2）f（x1）再由当x0时，f（x）0，可得 f（ x2x1 ）0，即f（x1）+f（x2）0，故有f（x1）f（x2），故f（x）在R上是减函数（3）若f（2x+5）+f（67x）4，则f（2x+5+67x）=f（115x）4再由f（1）=2，可得f（ 115x）f（2），结合f（x）在R上是减函数可得 115x2，解得x，故x的范围为 （，+）【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题
