1、 20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（四）一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()Aa(0,0)，b(1，2) Ba(1,2)，b(5,7)Ca(3,5)，b(6,10) Da(2，3)，b(4，6)2已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？()A事件A，B同时发生 B事件A，B至少有一个发生C事件A，B至多有一个发生 D事件A，B都不发生3已知复数z(i为虚数单位)，则z在复平面内所对
2、应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，则k的值不可能为()A B C. D5平面与平面平行的条件可以是()A内的一条直线与平行 B内的两条直线与平行C内的无数条直线与平行 D内的两条相交直线分别与平行6为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是()A通过调查获取数据 B通过试验获取数据 C通过观察获取数据 D通过查询获得数据7已知|a|2，|b|2，向量a，b的夹角为30，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为() A10 B C2
3、D228一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是()A96 B16 C24 D489如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A，B，则ABAB等于()A21 B31 C32 D4310.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是() A. B C. D11.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H
4、，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥ADEF，则HG与IJ所成的角的大小为()A90 B60 C45 D012.在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）A B C D二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13设a是从集合1,2,3,4中随机取出的一个数，b是从集合1,2,3中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)记“这些样本点中，满足logba1”为事件E，则E发生的概率是_.14已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_.15复数 _.16在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的
5、对边，且，则角B的大小为_.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知z是复数，z2i，均为实数，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围18(本小题满分12分)已知向量，且，求：（1）及；（2）若的最小值为，求实数的值19(本小题满分12分)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费(1)求某户居民用电费用
6、y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数20(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值21
7、(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，且三人是否通过测试互不影响求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过体能测试的概率22(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，ADBC，ABBC1，AD2，PA底面ABCD，PD与底面成45角，点E是PD的中点(1)求证：BEPD；(2)求二面角PCDA的余弦值20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（四）一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下
8、列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()Aa(0,0)，b(1，2)Ba(1,2)，b(5,7)Ca(3,5)，b(6,10)Da(2，3)，b(4，6)答案B解析A中，a(0,0)与b(1，2)共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中，a(3,5)与b(6,10)2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中，a(2，3)与b(4，6)2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底故选B.2已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？()A事件A，B同时发生B事件A，B至少有一
9、个发生C事件A，B至多有一个发生D事件A，B都不发生答案C解析P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率3已知复数z(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.4在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，则k的值不可能为()A BC. D答案D解析(2,3)，(1，k)，(1，k3)若A90，则213k0，k；若B90，则2(1)3(k3)0，k；若C90，则1(1)k(k3)0，k.故所求k的值为
10、或或.5平面与平面平行的条件可以是()A内的一条直线与平行B内的两条直线与平行C内的无数条直线与平行D内的两条相交直线分别与平行答案D解析若两个平面，相交，设交线是l，则有内的直线m与l平行，得到m与平面平行，从而可得A是不正确的；而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定与平行；C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定与平行由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的6为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是()A通过调查获取数据 B通过试验获取数据C通过观察获取数据 D通过查询获得数据答案(1)
11、D7已知|a|2，|b|2，向量a，b的夹角为30，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A10 B C2 D22答案C解析以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为ab与ab.|ab| 2，|ab| 2.所以以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线长度为2或2.故选C.8一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是()A96 B16C24 D48答案D解析设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径Raa，正三棱柱的高为a.又V球R3a3.a4.V柱(4)2448.9如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和.过A，B
12、分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A，B，则ABAB等于()A21 B31 C32 D43答案A解析如图，连接AB，AB，由已知得AA平面，ABA，BB平面，BAB.设ABa，则BAa，BBa，在RtBAB中，ABa，ABAB21.10.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是()A. BC. D答案C解析列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(3,2,4)，(3,3,
13、3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有10种等可能的情况而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，(3,3,3)，(3,4,2)，共4种，故所求概率为，故选C.11.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥ADEF，则HG与IJ所成的角的大小为()A90 B60 C45 D0答案B解析如图所示，在三棱锥ADEF中，因为G，H，I，J分别为AF，AD，AE，DE的中点，所以IJAD，HGDF，故HG与IJ所成
14、的角与AD与DF所成的角相等，显然AD与DF所成的角的大小为60，所以HG与IJ所成的角的大小为60.故选B.12.在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由，可得；再结合正弦定理余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，再根据可得，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解由，得，由正弦定理知，由余弦定理知，化简整理得，由正弦定理，有，锐角，且，解得，的取值范围为，故选：二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13设a是从集合1,2,3,4中随机取出的一个数，b是从集合1,2,3中随机取出的
15、一个数，构成一个样本点(a，b)记“这些样本点中，满足logba1”为事件E，则E发生的概率是_.答案解析事件E发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种等可能的结果，满足条件的样本点是满足logba1，可以列举出所有的样本点，当b2时，a2,3,4，当b3时，a3,4，共有325个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是.14已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_.答案解析设a与b的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos6，所以cos，因为0，故.15复数2020_.答案i1解析2020i1.16在ABC中，a，b，c
16、分别为角A，B，C的对边，且，则角B的大小为_.答案60解析，根据正弦定理，得.化简，得2sinAcosBcosBsinCsinBcosC，2sinAcosBsin(BC)在ABC中，sin(BC)sinA，cosB.0B180，B60.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知z是复数，z2i，均为实数，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，因为z2ix(y2)i，且z2i为实数，所以y2，zx2i.所以(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，又因为为实数，所以x4，所以z42i，
17、所以(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6，所以实数a的取值范围是(2,6)18(本小题满分12分)已知向量，且，求：（1）及；（2）若的最小值为，求实数的值【答案】（1）， （2）.【解析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；（2）由（1）求得函数，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.（1）由题意，向量，可得，又由所以.（2）由（1）可得，即，令，所以，对称轴为，若，则，不符合题意；若，则，解得（舍去）；若，则，解得，综上可得：.19(本小题满分12分)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为
18、三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数解(1)当0x200时，y0.5x；当200x400时，y0.52000.8(x200)0.8x60
19、；当x400时，y0.52000.82001.0(x400)x140.所以y与x之间的函数解析式为y(2)由(1)可知，当y260时，x400，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知解得a0.0015，b0.0020.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.0010.0020.003)10060%，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m在300,400)内，所以0.6(m300)0.0020.75，解得m375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时20(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，AB
20、BCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)证明：在图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图中，BEA1O，BEOC，又A1OOCO，从而BE平面A1OC.因为BCADED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BC
21、DE的高由图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.21(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，且三人是否通过测试互不影响求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过体能测试的概率解设事件A“甲通过体能测试”，事件B“乙通过体能测试”，事件C“丙通过体能测试”，则P(A)，P(B)，P(C).(1)设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1ABC，则由A，B，C相互独立，可得P(M1)P(A)P(B)P
22、(C).(2)设M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2ABACBC，由于事件A与B，A与C，B与C均相互独立，且事件AB，AC，BC两两互斥，则P(M2)P(ABACBC)P(AB)P(AC)P(BC).(3)设M3表示事件“只有1人通过体能测试”则M3ABC，由于事件A、，、B、，、C均相互独立，并且事件A，B，C两两互斥，所以所求的概率为P(M3)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C).22(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，ADBC，ABBC1，AD2，PA底面ABCD，PD与底面成45角，点E是PD的中点(1)求证
23、：BEPD；(2)求二面角PCDA的余弦值解(1)证明：连接AE.因为PA底面ABCD，所以PDA是PD与底面ABCD所成的角，所以PDA45.所以PADA.又因为点E是PD的中点，所以AEPD.因为PA底面ABCD，AB底面ABCD，所以PAAB.因为BAD90，所以BADA.又因为PAADA，所以BA平面PDA.又因为PD平面PDA，所以BAPD.又因为BAAEA，所以PD平面ABE.因为BE平面ABE，所以BEPD.(2)连接AC，在直角梯形ABCD中，因为ABBC1，AD2，所以ACCD.因为AC2CD2AD2，所以ACCD，又因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，所以PACD.因为ACPAA，所以CD平面PAC.又因为PC平面PAC，所以PCCD，所以PCA为二面角PCDA的平面角在RtPCA中，PC.所以cosPCA.所以所求二面角的余弦值为.
