1、32.2复数代数形式的乘除运算填一填1.复数乘法的运算法则和运算律(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1、 z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z32.共轭复数(1)如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数z为共轭复数用表示，即zabi(a，bR)，则abi.(2)复数与共轭复数的乘法性质z(abi)(abi)a2b2.3复数的除法法则设z1abi，z2cdi(
2、cdi0)，则i(cdi0).判一判1.两个复数的积与商一定是虚数()2两个共轭复数的和与积是实数()3复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减()4两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()5设z是复数，若z20，则z是实数()6若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()7两个复数相乘的结果可能为实数()8两个共轭复数的差为纯虚数()想一想1.怎样进行复数的乘法？两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可2如何理解复数的乘除法运算法则？复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简复数的
3、除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)3共轭复数有哪些性质，这些性质有何作用？(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数4复数形式的基本轨迹有哪些？(1)|zz1|r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹是以复数z1对应的点为圆心，r为半径的圆(2)|zz1|zz2|表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为端点的线段的垂直平分线(3)|zz1|zz2|2a(a0)，当2a|Z1
4、Z2|时，表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆；当2a|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2对应点Z1，Z2为端点的线段；当2a0)当2a|Z1Z2|时，无轨迹感悟体会练一练1.已知i21，则i(1i)()A.i B.iCi Di解析：i(1i)ii2i，故选B.答案：B2已知复数z2i，则z的值为()A5 B.C3 D.解析：z2i，2i，z(2i)(2i)4i25，故选A.答案：A3已知i是虚数单位，若复数z满足z，则z()A1i B1iC1i D1i解析：z1i，故选A.答案：A4已知a，bR，i是虚数单位若(1i)(1bi)a，则的值为_解析：由(1i)(1bi)1biib
5、i2(1b)(1b)ia，得解得2.答案：2知识点一复数代数形式的乘法运算1.设i是虚数单位，则复数(1i)(12i)()A33i B13iC3i D1i解析：(1i)(12i)12ii2i23i.故选C.答案：C2设复数z1i，则z22z等于()A3 B3C3i D3i解析：z1i，z22z(1i)22(1i)12i2i222i3，故选A.答案：A知识点二共轭复数3.若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x_，y_.解析：x2yi和3xi互为共轭复数，x，yR，解得答案：114设a，b为共轭复数，且(ab)23abi412i，求a，b的值解析：设axyi(x，yR)，则bxyi，ab2x，a
6、bx2y2，又(ab)23abi412i，4x23(x2y2)i412i，由复数相等的性质知解得或或或或或或知识点三复数代数形式的除法运算5.已知i为虚数单位，若复数z满足(12i)z1i，则复数z的虚部为()A. BC.i Di解析：由题可得zi，所以复数z的虚部为，故选B.答案：B6计算：(1).(2).解析：(1)方法一：2i.方法二：ii2i.(2)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.综合知识复数代数形式的乘除运算综合应用7.已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2_.解析：(z12)
7、(1i)1i，z12i，z12i，依题意，可设z2a2i(aR)，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2是实数，a4，z242i.答案：42i8已知a为实数，复数z12i，z2ai(i为虚数单位)(1)若a1，指出z1在复平面内对应的点所在的象限；(2)若z1z2为纯虚数，求a的值解析：(1)因为a1，所以z1(2i)(1i)32i，所以z1在复平面内对应的点为(3，2)，从而z1在复平面内对应的点在第四象限(2)z1z2(2i)(ai)(2a1)(2a)i，因为aR，z1z2为纯虚数，所以2a10，且2a0，解得a.基础达标一、选择题1设z1，z2是复数，则下列命题中的假
8、命题是()A若|z1z2|0，则B若z1，则z2C若|z1|z2|，则z1z2D若|z1|z2|，则22解析：A中，由|z1z2|0，得z1z20，z1z2，正确；B中，若z1，则z2，正确；C中，由|z1|z2|，得|z1|2|z2|2，z1z2，正确；D中，当|z1|z2|时，可取z11，z2i，则z1，zi21，zz，错误故选D.答案：D2复数(1i)2(23i)的值为()A64iB64iC64i D64i解析：(1i)2(23i)2i(23i)4i6i264i，故选D.答案：D3复数的虚部是()A.i B.Ci D解析：i，复数的虚部是，故选B.答案：B4已知i为虚数单位，若复数z，则
9、|z|()A3 B.C9 D10解析：z，|z|3，故选A.答案：A5(1i)20(1i)20的值是()A1 024 B1 024C0 D512解析：(1i)20(1i)20(1i)210(1i)210(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.故选C.答案：C6设复数z的共轭复数是，若复数z134i，z2ti，且z1是实数，则实数t()A. B.C D解析：z2ti，ti，又z134i，z1(34i)(ti)(3t4)(4t3)i，z1为实数，4t30，解得t，故选A.答案：A7设z1，z2为复数，Az1z2，则A是()A虚数 B实数C纯虚数 D实数或虚数解析：设z1abi，z2cd
10、i，(a，b，c，dR)，则abi，cdi，Az1z2(abi)(cdi)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i(acbd)(adbc)i2(acbd)，A为实数，故选B.答案：B二、填空题8已知复数z满足z0，则|z|_.解析：由z0，可得z23，所以zi，所以|z|.答案：9已知i为虚数单位，则在复平面内复数对应的点位于第_象限解析：1i，在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限答案：一10已知nR，i为虚数单位，若ni，则实数n_.解析：依题意，ini，由复数相等的充要条件知，n.答案：11若x，则_.解析：x，x2xx(x1)(1i)(1i)(13)1，1.答案：112已知
11、z是纯虚数，是实数，那么z等于_解析：设zbi(bR)，则i，因为是实数，所以0，得b2，所以z2i.答案：2i三、解答题13计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i；(3)2020；(4).解析：(1)原式2(1i)1i.(2)原式(311i)(34i)2i5323i.(3)原式1010(1i)i10101i(i)10101i12i.(4)原式3ii0.14设的共轭复数是z，若z4，z8，求的值解析：法一设zxyi(x，yR)，则xyi.由z4，z8，得即解得所以i.法二因为z4，设z2bi(bR)，又z|z|28，所以4b28.所以b24，所以b2，所以
12、z22i，22i.所以i.能力提升15.已知z为复数，z32i和均为实数，其中i为虚数单位(1)求复数z；(2)若复数(zmi)2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围解析：(1)设复数zabi(a，bR)，由题意可得z32i(a3)(b2)iR，所以b20，即b2.又R，所以2ab0，结合b2，可得ab1，所以z12i.(2)(zmi)21(m2)i21(m2)22(m2)i，因为(zmi)2在复平面内对应的点位于第二象限，所以，解得m3，所以实数m的取值范围为(，3)16设z1是虚数，z2z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值及z1的实部的取值范围；(2)若，求证：为纯虚数解析：(1)设z1abi(a，bR，且b0)，则z2z1abii，因为z2是实数，b0，于是有a2b21，即|z1|1，所以z22a，由1z21，得12a1，解得a，故z1的实部的取值范围是.(2)由题可得i，因为a，b0，所以为纯虚数
