1、3.3 幂 函 数 我们先看几个具体问题:1.如果回收旧报纸每公斤元，某班每年卖旧报 纸公斤，所得价钱是关于的函数；2.如果正方形的边长为，面积为,这里是 关于的函数;y=x y=x2 3.如果正方体的棱长为,正方体的体积为,这里是关于的函数 ;4.如果一个正方形场地的面积为,这个正方 形的边长为，这里是关于的函数 ;5.如果某人秒内骑车行驶了,他骑车的 平均速度是，这里是关于的函数 .3yx12yx-1yx1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用；(重点）2.能够类比研究一般函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质；3.通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力；
2、进一步体会数形结合的思想.（难点）数学抽象：通过生活中的具体实例抽象出幂函数的概念、通过几个常见幂函数的图象抽象出幂函数的图象与性质，培养数学抽象的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂我们已经明确了上述问题所涉及的函数关系，你能找出它们有什么共同的特征吗？yx(1)(2)(3)(4)(5)12yx2yx1yx3yxyx（1）都是以自变量x为底数；（2）指数为常数；（3）幂的系数为1;x的系数为1（4）只有一项；（5）都是形如 的函数 微课1：一般地,函数 叫做幂函数，其中x是 自变量，是常数.yx中 前面的系数是1，后面没有其他项.yxx幂函数_有下列函数：y
3、3x2；yx21；y1x；y1x；yx23；y2x.其中，是幂函数的有_(只填序号)【即时训练】例1.下列函数中，哪几个函数是幂函数？22x231(1)y (2)y2xx(3)y2 (4)yx1 (5)yx 答案:(1)（6）a 16 yx 在函数y1x，yx2，y2x，y1，y2x2，yx12 中，是幂函数的是()A B C D C【变式练习】【解析】选 C.幂函数是形如 yx(R，为常数)的函数，是 1 的情形，是 2 的情形，是 12的情形，所以都是幂函数；是指数函数，不是幂函数；中 x2的系数是 2，所以不是幂函数；是常函数，不是幂函数所以只有是幂函数 23112,yxyxyxyxyx
4、微课2：在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：xy在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象 yxO2yx3yx12yx1yx观察并找出各函数图象的共同点 1yxxyO（2）在第一象限内，当0时，图象随x的增大而_ 当1)与四条曲线相交，由图可知图象 C1，C2，C3，C4 对应的 分别是 2,1，12，1.答案：2,1，12，1【提升总结】常见幂函数的特征123121.yx,yx,yx,yxyx函数和的图象 都通过点(1,1).312yx,yx,yxyx2.函数是奇函数，函数 是偶函数.12321yx,yx,yxyxyx3.在第一象限内，函数和 是增函数，函数是减函数.1yxyx4.在第一象限内
5、，函数的图象向上与 轴无限 接近，向右与 轴无限接近.例2.证明幂函数 在 上是增函数.f(x)x0,证明：任取 1212x,x0,xx,，且则 1212121212(xx)(xx)f(x)f(x)xxxx1212xxxx因为 1212xx0,xx0所以 12f(x)f(x)即幂函数 在 上是增函数.f(x)x0,掌握证明函数单调性的方法和基本模式.已知幂函数 yxm22m3(mN*)的图象关于y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)-m3(32a)-m3 的 a 的取值范围【易错点拨】【错解】函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数图象关于 y
6、轴对称，m22m3 是偶数又222233 为奇数，122134 为偶数，m1.又 yx 13 是减函数，由(a1)-m3 32a.解得23a.【错因分析】该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制只有在同一个单调区间内才能在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化【思路分析】解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出 m 的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于 a 的不等式在这里极易出现认为函数在(，0)和(0，)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果【正解】函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数图象
7、关于 y 轴对称，m22m3 是偶数又222233 为奇数，122134 为偶数，m1.又y=x1-3在(，0)，(0，)上均为减函数，由(a1)-m3 32a0 或 32aa10 或 a1032a.解得 a1或23a32.幂函数 待定系数法：求幂函数解析式 数形结合法：研究幂函数的性质 单调性法：比较幂值的大小 幂函数的判断注意函数 的系数必须是1 利用幂函数的图象解决问题，要注意图象过的定点 数学抽象：通过生活中的具体实例抽象出幂函数的概念、通过几个常见幂函数的图象抽象出幂函数的图象与性质，培养数学抽象的核心素养 1时，图象下凸:概念 性质 图象 0时在第一象限内为增函数，且 越大上升速度
8、越快 0在第一象限内为减函数，且 越小下降速度越快 0 1时，图象上凸 1已知函数 f(x)(a2a1)x12a 为幂函数，则实数 a 的值为()A1 或 2 B2 或 1 C1 D1 【解析】选 C.因为 f(x)(a2a1)x12a 为幂函数，所以 a2a11，即 a2 或1.又 a20，所以 a1.C 2、设 2，1，12，13，12，1,2,3，则使f(x)x 为奇函数且在(0，)上单调递减的 的值的个数是()A1 B2 C3 D4 【解析】选 A.f(x)x 为奇函数，1，13，1,3.又f(x)在(0，)上为减函数，1.A 3.幂函数图象过点(2,4),则它的单调增区间是_.【解析
9、】设幂函数f（x）=，则 =4，解得a=2，所以f（x）=，其单调递增区间为（0，+）答案：（0，+）axa22x（0，+）4.若 ，求实数 的取值范围.13 20aa 112211132aa1122132aaQa解析：23.32a解得 1122132aa5.(2017山东高考理科T10)已知当 x0,1时,函数 y=(mx-1)2 的图象与 y=x+m 的图象有且只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是()A.(0,123,+)B.(0,13,+)C.(0,2 23,+)D.(0,2 3,+)【解析】选 B.函数 y=(mx-1)2 的图象的对称轴为 x=1m,当 1m 1,即0m1 时,作出函数 y=(mx-1)2与 y=x+m 的图象,如图,则二者只有一个交点;当 1m 1 时,作出函数 y=(mx-1)2 与 y=x+m 的图象,如图所示,要使二者只有一个交点,则需 y=x+m 在 x=1 时的值小于等于y=(mx-1)2 值,即 m+1(m-1)2,解得 m3,综上正实数 m 的取值范围是(0,13,+).为你的终极目标而努力，你内在的意念是外在事物成功的关键，专注在目标上，全神贯注，你才会所向披靡。
