1、第三课 概 率【网络体系】【核心速填】1.两种关系(1)互斥与对立的关系：互斥事件与对立事件的关系是互斥不一定对 立，但对立_互斥.(2)频率与概率的关系：频率是概率的_值，随着试验次数的增 加，频率会越来越接近概率，频率是_的，而概率是一个_ 的常数.一定近似随机确定2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率：_.(3)不可能事件的概率：_.(4)互斥事件概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则 P(AB)=_.0P(A)1P(A)=1P(A)=0P(A)+P(B)(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，则_，_.P(AB)=1P(A)
2、=1-P(B)3.古典概型综述(1)基本特征:_、_.(2)计算公式：（其中n为试验的基本事件总数,m为事件A包含的基本事件数）.有限性等可能性 mP An4.几何概型综述(1)几何概型的基本特征:基本事件的_性、每个事件发生的 _性.(2)几何概型的概率计算公式:P(A)=.无限等可能A()构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果构成的区域长度 面积或体积【易错提醒】1.随机事件的概率易失误点(1)对问题分类不清，导致对事件分类不清出现错误，而处理正面较复杂的问题时，又不能用互斥事件求其对立面来简化求解过程.(2)解与等可能事件相关题目时，要注意对等可能事件的基本事件构成的理解，往往计
3、算基本事件或多或少或所划分的事件根本不等可能，从而导致失误.2.几何概型中的易失误点(1)解题时要正确区分是古典概型还是几何概型.(2)解题时要明确几何概型中构成事件A的区域是长度、面积、还是体积.类型一 频率与概率【典例1】某射击运动员为2016年省运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心 次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心 的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少?(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多
4、少?(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗?【解析】(1)由题意，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为3000.9=270(次).(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.【方法技巧】用频率估算概率的方法(1)进行大量的随机试验，求得频数.(2)由频率计算公式fn(A)=得频率.(3)由频率与概率的关系估计概率.Ann【变式训练】同时向上抛100个质地均匀的铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面
5、情况最有可能正确的是 ()A.这100个铜板的两面是一样的 B.这100个铜板的两面是不同的 C.这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 D.这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的【解析】选A.因为铜板质地均匀，如果两面不同，则朝上的面相同的个数大约是50，而现在全部相同，则说明铜板的两面是一样的.【补偿训练】若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8000件产品中的次品件数为()A.7 840 B.160 C.16 D.784【解析】选B.在8000件产品中，合格品约有800098%=7840件，故次品约有8000-7840=160(件).
6、类型二 互斥事件与对立事件【典例2】甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?【解析】把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲
7、、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为 故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为 (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 故“甲、乙两人 至少有一人抽到选择题”的概率为 632010，632010，333.10105212010，191.1010【方法技巧】1.互斥事件与对立事件的概率计算(1)若事件A1，A2，An彼此互斥，则
8、P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).(2)设事件A的对立事件是 则P(A)=1-P().2.求复杂事件的概率常用的两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)=1-P()求解.A，AA【变式训练】2015年5月1日某购物中心举行“庆五一回报顾客”的超低价购物有礼活动，某人对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下：求：(1)至多30人排队的概率.(2)至少30人排队的概率.排队人数 0 20 30 40 50 50人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04【解析】(1)记“没有人排队”为事
9、件A，“20人排队”为事件B，“30人排队”为事件C，A，B，C三个事件彼此互斥，所以至多30人排队的概率为 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)记“至少30人排队”为事件D，结合(1)，因为事件D与事件AB是对立事件，所以至少30人排队的概率为P(D)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)=1-0.1-0.16=0.74.【补偿训练】某公务员去外地开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率.(2)他不乘轮船去的概率.【解析】设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘
10、汽车去为事件C，乘飞机去为事件D，它们彼此互斥，则P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.1，P(D)=0.4.(1)P(AD)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.(2)设不乘轮船去开会为事件E，则P(E)=P(ACD)=P(A)+P(C)+P(D)=0.3+0.1+0.4=0.8，另解：事件E与B是对立事件，则P(E)=1-P(B)=1-0.2=0.8.类型三古典概型【典例3】(1)某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角.这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()1123A.B.C.D.310510(
11、2)随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视.从学生体检评价报告单了解到我校3000名学生的体重发育评价情况，得下表：偏瘦 正常 肥胖 女生/人 300 865 y 男生/人 x 885 z 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15.求x的值；若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名?已知y243，z243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率.【解析】(1)选D.设2个金鸡奖演员编号为1，2，3个百花奖演员编号 为3，4，5.从编号为1，2，3，4，5的演员中任选3名有10种挑选方 法：(1，2，3
12、)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中 挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，故所求的概率为 3P.10(2)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的 概率为 0.15，可知，所以x450.由题意，可知肥胖学生人数为 yz500(人)设应在肥胖学生 中抽取m人，则 所以m10.答：应在肥胖学生中抽10名.x0.153 000，m60.5003 000由题意，可知yz500，且y243，z243，满足条件的基本事 件如下：
13、(y，z)有(243,257)，(244,256)，(257,243)，共有15组 设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即 yz，满足条件的(y，z)的基本事件有：(243,257)，(244,256)，(250,250)，共有 8 组，所以P(A)答：肥胖学生中男生不少于女生的概率为 8.158.15【方法技巧】求解古典概型概率“四步”法【变式训练】有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张.(1)用画树状图法表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A，B，C，D表示).(2)求摸出两张牌面图形都是中心
14、对称图形的纸牌的概率.【解析】(1)树状图如图所示.(2)摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种情况，即(B，B)，(B，C)，(C，B)，(C，C)，故所求概率是 41.164【补偿训练】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x/10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16(1)求这5天发芽数的中位数.(2)求这5天的平均发芽率.(3)从3月1日至3月5日中任选2天，
15、记前面一天发芽的种子数为m，后 面一天发芽的种子数为n，用(m，n)的形式列出所有基本事件，并求 满足“”的概率.25m30,25n30【解析】(1)因为1623252630,所以这5天发芽数的中位数是25.(2)这5天的平均发芽率为 (3)用（m,n）表示所求基本事件，则有（23，25）,（23，30）,（23，26）,（23，16）,（25，30）,（25，26）,（25，16）,（30，26）,（30，16）,（26，16）,共有10个基本事件.23253026 1610024.100 100 100 100 100记“”为事件A,则事件A包含的基本事件为（25，30），（25，26），
16、（30，26），共有3个基本事件.所以P（A）=即事件“”的概率为 25m30,25n30,310，25m30,25n303.10类型四 几何概型【典例4】(1)已知区域E=(x，y)|0 x3，0y2，F=(x，y)|0 x3，0y2，xy，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为 .(2)设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.【解析】(1)依题意可知，本问题属于几何概型，区域E和区域F的对应图形如图所示.其中区域E的面积为326，区域F的面积为 (13)24，所 以
17、向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为 答案：1242P.63 23(2)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”，当a0，b0时，此方程有实根的条件是ab.全集=(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A=(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，故P(A)=93.124【方法技巧】几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应
18、用P(A)=求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题.mn【变式训练】(2015秦皇岛高一检测)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ()A 1 B.1 C 2 D.4224【解析】选A.取面积为测度，则所求概率为 DEBFABCDSPS图形矩形212 1122421.2 124【补偿训练】在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面 积大于 的概率为_.S3【解析】如图所示，作ADBC于D，PEBC于E.对于事件M=“PBC的面积大于 ”，S3有 即 所以 由几何概型的概率计算公式，得P(M)答案：11 1BC PE BC AD23 2，1PEAD3，1BPAB.32 AB23.AB323
