1、专题五十四 抛物线【高频考点解读】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2.理解数形结合的思想3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用【热点题型】题型一 抛物线的定义及其应用例1、(1)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4B8C8 D16(2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_ (2)当x4时，y24416，所以y4，即|y|4，因为|a|4，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线x1于点N.【提分秘籍】1定点F
2、不能在定直线l上，因为若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的直线而非抛物线2抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简3. 利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上【举一反三】已知点P(2，y)在抛物线y24x上，则P点到抛物线焦点F的距离为()A2 B3C. D.解析：点P(2，y)在抛物线y24x上
3、，点P到焦点F的距离等于点P到准线x1的距离点P到准线x1的距离为3，点P到焦点F的距离为3. 答案：B【热点题型】题型二 抛物线的标准方程与几何性质例2、(1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48(2)已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x(2)由题意知，抛物线C的焦点坐标为(，0)或(，0)，p2.抛物线的方程为y24x或y24x.【答案】(1)C(2)D 【提分秘籍】1.抛物线焦点弦的几个
4、常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3).(4)以弦AB为直径的圆与准线相切2.求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量【举一反三】(1)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xB
5、y26xCy23x Dy2x(2)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C.D2AFx60，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.【热点题型】题型三 直线与抛物线的位置关系例3、如图，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分(1)求p，t的值；(2)求ABP面积的最大值【解析】(1)由题意
6、知得设点P到直线AB的距离为d，则d.【提分秘籍】设直线方程AxByC0与抛物线方程y22px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2nyl0.(1)位置关系与其判别式的关系：(2)相交问题的求解通法：涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法注意：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点解析：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 【高考风向标】 1（2014广东
7、卷）曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_【答案】y5x3【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法因为y5e5x，所以切线的斜率k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即y5x3.2（2014辽宁卷）已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B. C. D.3（2014新课标全国卷 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A. B3C. D2【答案】B【解析】由题知F(2，0)，设P(2，t)，Q(x0，y0)，则FP(
8、4，t)，(x02，y0)，由FP4FQ，得44(x02)，解得x01，根据抛物线定义得|QF|x023.4（2014安徽卷）如图14，已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点图14(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值故，所以A1B1A2B25（2014湖北卷）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1
9、.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点综上可知，当k0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点6（2014湖南卷）如图14，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则_图14【答案】1【解析】依题意可得C，F，代入抛物线方程得ap
10、，b22a，化简得b22aba20，即 2210，解得1.7（2014全国卷）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程 由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.8（2014新课标全国卷 设F为抛物线C：y23x的焦点，过
11、F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.9（2014山东卷）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 (2)证明：由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x0
12、1，由xD0得xDx02，故D(x02，0)代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，10（2014陕西卷）如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程图15设点P的坐标为(xP，yP)，11(2013年高考四川卷)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.12(2013年高考北京卷)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程
13、为_解析：1，p2；准线方程：x1.答案：2x113(2013年高考江西卷)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【随堂巩固】 1设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy28x Dy24x2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条D4条3若抛物线y22px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A2 B18 C2或18 D4或16解析：设P(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或1
14、8.答案：C4已知点P为抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|PM|的最小值是()A. B4 C. D55若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则点P的轨迹方程是()A y216x By232xCy216x Dy216x或y0(x0)上相异两点，Q，P到y轴的距离的积为4且0，PQ交x轴于E.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR的方程为xnyb，并设R(x3，y3)，同理可知，.由可得.
