1、第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴_正向_与直线l_向上_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0(2)倾斜角的取值范围为_0，180)_知识点二直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的_正切值_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k_tan_，倾斜角是90的直线斜率不存在(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)的直线的斜率
2、公式为k知识点三直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_yy0k(xx0)_不含直线xx0斜截式_ykxb_不含垂直于x轴的直线_两点式_不含垂直于坐标轴的直线_截距式_1不含垂直于x轴、平行于x轴和_过原点的_直线一般式AxByC0其中要求_A2B20_适用于平面直角坐标系内的所有直线直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：009090900且越大，k就越大不存在k0，bc0，bc0Cab0 Dab0，bc0解析由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即，故选AKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一直线的倾斜角与斜率自主练透例1(1)(2019兰州
3、模拟)直线2xcosy30(，)的倾斜角的变化范围是(B)A， B，C， D，(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为(，1，)解析(1)直线2xcosy30的斜率k2cos.由于，所以cos，因此k2cos1，设直线的倾斜角为，则有tan1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是，(2)如图，kAP1，kBP，k(，1，)引申1若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l的倾斜角的范围为0，)(，)引申2若将题(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其它条件不变，求直线l斜率的取值范围为，解析P(1,0)，A(2,1)，
4、B(0，)，kAP，kBP如图可知，直线l斜率的取值范围为，名师点拨 (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜率ktan的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角的取值范围(2)注意倾斜角的取值范围是0，)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，直线垂直于x轴变式训练1(1)(2020大庆模拟)直线xsiny20的倾斜角的范围是(B)A0，) B0，)C0， D0，(，)(2)(多选题)(2019安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(2，1)若直线l：yk(x2)1与线段AB相交，则k的值可以是(ABC)A B2 C0 D1解析(1)设直
5、线的倾斜角为，则tansin，所以1tan1，又0，所以0或0，b0)，则1(1)2ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4.此时，直线l的方程是1.即x2y40(2)ab(ab)()33232.此时，求得b1，a2.此时，直线l的方程为1.即xy20(3)设BAO，则sin ，cos ，|MA|MB|，显然当时，|MA|MB|取得最小值4，此时k1，所求直线的方程为y1(x2)，即xy30另解：|MA|MB|(a2，1)(2，b1)2ab5(2ab)()54.当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30(4)同(3)|MA|，|MB|，|MA|2|MB|2(sin
6、2cos2)()59(当且仅当cos22sin2，即tan 时取等号)此时直线的斜率k，故所求直线的方程为y1(x2)，即x2y2(1)0注：本题也可设直线方程为y1k(x2)(k0)求解名师点拨 利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清变式训练3已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B，O为坐标原点若SAOB，求直线l的方程解析设直线l的方程为1，则解得或故所求直线方程为1或1，即xy30或x4y60MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升
7、 (1)定点问题例4已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不过第四象限，求k的取值范围解析(1)证明：直线l的方程可化为y1k(x2)，故无论k取何值，直线l必过定点(2,1)(2)令x0得y2k1，即直线l在y轴上的截距为2k1.由题意知解得k0故取值范围是0)(2)曲线的切线问题例5(2019湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为(A)A2 B C1 D3解析设切点为(m，)，m0，y的导数为y，可得切线的斜率k，切线方程为y(xm)，代入(2,0)，可得(2m)，解得m1，则切线方程为y1x1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为222.故选A变式训练4(1)直线ykxk2过定点_(1，2)_(2)(2018课标全国)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_2xy20_
