1、考点规范练28等差数列及其前n项和考点规范练B册第18页基础巩固组1.若数列an的首项a1=1,且an=an-1+2(n2),则a7等于() A.13B.14C.15D.17答案:A解析:an=an-1+2(n2),an-an-1=2.又a1=1,数列an是以1为首项,以2为公差的等差数列,故a7=1+2(7-1)=13.2.在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14答案:B解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.3.设an是等差数列.下列结论中正确的是()A.若a1+a20,则a2+
2、a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1D.若a10导学号32470769答案:C解析:设等差数列公差为d.对于A选项,a1+a2=2a1+d0,而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;对于B选项,a1+a3=2a1+2d0,a1+a2=2a1+d不一定小于0;对于C选项,0a10,故a2=;对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d20.故只有C正确.4.在等差数列an中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为()A.14B.18C.21D.27答案:A解析:设等差数列an的公差为d,则依题意得由此解得故a6=a1+5d=7,即a1a6=14.5.已知每项均大于零的数列a
3、n中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(nN+,且n2),则a81等于()A.638B.639C.640D.641导学号32470770答案:C解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,是以1为首项,2为公差的等差数列,故=2n-1,Sn=(2n-1)2,a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.6.(2015石家庄模拟)已知等差数列an,且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列an前13项的和为()A.24B.39C.104D.52答案:D解析:an是等差数列,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48,所以a
4、4+a10=8,其前13项的和为=52,故选D.7.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.21导学号32470771答案:C解析:a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=.答案:60解析:Sn是等差数列an的前n项和,S10,S20-S10,S30-S20也成等差
5、数列.2(S20-S10)=S10+(S30-S20).S30=60.9.(2015安徽,文13)已知数列an中,a1=1,an=an-1+(n2),则数列an的前9项和等于.答案:27解析:由已知条件得an-an-1=(n2),数列an是以1为首项,为公差的等差数列,由等差数列前n项和公式得S9=91+=27.10.在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为.导学号32470772答案:解析:由题意知当d0,数列an中所有非负项的和最大.又当且仅当n=8时,Sn取最大值,解得-1d0,a3a4,a3=9,a4=13,通项公式an=
6、4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,Sn=na1+d=2n2-n=2.当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=,b1=,b2=,b3=.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即2=,2c2+c=0,c=-(c=0舍去),故c=-.导学号32470773能力提升组13.(2015东北三省四市联考)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为()A.B.C.D.答案:A解析:依题意,设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a
7、-2m,a-m,a,a+m,a+2m,则有解得a=20,m=,a-2m=,即其中最小一份为,故选A.14.若数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN+),则数列an的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9答案:B解析:a1=19,an+1-an=-3,数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列.an=19+(n-1)(-3)=22-3n.设an的前k项和数值最大,则有kN+.k.kN+,k=7.满足条件的n的值为7.15.已知数列an是等差数列,a1=tan 225,a5=13a1,设Sn为数列(-1)nan的前n项和,则S2 016=()A.2 014B.-2
8、014C.3 024D.-3 021导学号32470774答案:C解析:a1=tan 225=1,a5=13a1=13,则公差d=3,an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),Sn=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a2 012-a2 011)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.16.已知正项数列an满足:a1=1,a2=2,2(nN+,n2),则a7=.答案:解析:2(nN+,n2),数列是以=1为首项,以d=4-1=3为公差的等差数列.=1+3(n-1)=3n-2.an=,n1.a7=.17.设数列an
9、的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1)(nN+).(1)求证:数列an为等差数列,并求an与Sn.(2)是否存在自然数n,使得S1+-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN+).当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4,故数列an是以1为首项,4为公差的等差数列.于是,an=4n-3,Sn=2n2-n(nN+).(2)解:由(1),得=2n-1(nN+).又S1+-(n-1)2=1+3+5+7+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2 015,得n=1 008,即存在满足条件的自然数n=1 008.导学号32470775
