1、高考资源网（） 您身边的高考专家31.2复数的几何意义填一填1.复平面的定义如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数zabi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量是一一对应的3复数的模复数zabi(a，bR)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|.由模的定义可知：|z|abi|r(r0，rR)判一判1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴
2、上()解析：实数的虚部为0，对应纵坐标为0的实轴上点，故正确2若|z1|z2|，则z1z2.()解析：例z11i，z21i有|z1|z2|，但是z1与z2不相等，故错误3虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上()解析：原点在虚轴上不表示虚数，故错误4第一象限的点都表示实部为正数的虚数()解析：第一象限的点横坐标为正，对应复数的实部，故正确5实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限()解析：实部为正虚部为负的虚数对应的点的横坐标为正，纵坐标为负，是第四象限点，故正确.想一想1.实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？提示：任何一个复数zabi，都和一个有序实数对
3、(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系2平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点是原点与复数一一对应3复数的模一定是正数吗？提示：当z0时，|z|0；反之，当|z|0时，必有z0.故复数的模不一定是正数，复数的模是非负数，即|z|0.4若复数z满足|z|1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？提示：点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆思考感悟：练一练1已知复数zm2(4m2)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为()A0 B2C2 D2解析：当点在虚轴上时，实部m20，m2.答案：B2当0m1时，z(m
4、1)(m1)i在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：z(m1)(m1)i对应的点为(m1，m1)，0m1，1m12，1m10，点(m1，m1)位于第四象限答案：D3向量(0，3)对应的复数是_解析：易知向量对应的复数为z0(3)i3i.答案：3i4已知复数z2i(i是虚数单位)，则|z|_.解析：|z|.答案：知识点一复数的几何意义1.当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：m0，m10，点(3m2，m1)在第四象限答案：D2已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数
5、m的取值范围是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)解析：由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以解得3m1，故选A.答案：A3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i解析：由题意知A(6,5)，B(2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为24i.答案：C知识点二复数的模4.已知复数z满足|z|1，则z()A1BiCabi(a，bR)，且a2b21D1i解析：设zabi(a，bR)，则由|z|1，得a2b21.故选C.答案：C5复数z1a2i，z22i，如果|z1|
6、z2|，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(1，)C(0，) D(，1)(1，)解析：|z1|，|z2|，1a1.答案：A6复数z512i在复平面内对应的点到原点的距离为_解析：|z|13，对应点到原点的距离为13.答案：13知识点三复数几何意义的应用7.在复平面上，复数i,1,42i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数解析：方法一：由已知，得点A，B，C的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点为E.由平行四边形的性质，知E也是BD的中点设D点的坐标为(x，y)，则即D点的坐标为(3,3)D点对应的复数为33i.方法二：由已知，得(
7、0,1)，(1,0)，(4,2)，(1,1)，(3,2)(2,3)(3,3)点D对应的复数为33i.8已知复数z2cos (1sin )i(R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线解析：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2cos21可得(x2)2(y1)21.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆基础达标一、选择题1已知复数z12i，z2i，则()A. B.C. D5解析：由已知得|z1|，|z2|1，所以.答案：C2复数z与它的模相等的充要条件是()Az为纯虚数 Bz为实数Cz为正实数 Dz为非负实数解析：设zxy
8、i(x，yR)，依题意有xyi，因此必有即所以y0，x0，即z为非负实数答案：D3已知复数z(x1)(2x1)i的模小于，则实数x的取值范围是()Ax2 Bx Dx2解析：由条件，得(x1)2(2x1)210，所以5x26x80，故x0，所以方程有两根，所以2t25t3的值可正可负可为零，故选项A、B不正确又t22t2(t1)210，所以选项D不正确，故选C.答案：C6已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A(1,5) B(1,2)C(1，) D(1,25)解析：由已知，得|z|.由0a2，可得0a224，所以1a210，复数z(a21)ai在复平面内对应的点为(a2
9、1，a)，所以复数z在复平面内对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上(2)设zxyi(x，yR)，则消去a可得xy21，所以复数z在复平面内对应的点的轨迹方程为y2x1.14设zC，则满足条件|z|34i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解析：方法一：由|z|34i|得|z|5.这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆方法二：设zxyi(x，yR)，则|z|2x2y2.因为|34i|5，所以由|z|34i|得x2y225，故点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆.能力提升15.已知关于x的方程x2(tan i)x(2i)0(i为虚数单位)有实数根，求锐角和方程的实数根解析：设x0是方程x2(tan i)x(2i)0的实数根，则x(tan i)x0(2i)0，即xx0tan 2(x01)i0，所以，解得x01，tan 1，又为锐角，所以.16已知复数(m22m3)(m2m12)i(mR，i为虚数单位)(1)若为实数，求m的值；(2)若复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围解析：(1)因为为实数，所以m2m120m3或m4.(2)由复数对应的点在第四象限得，所以3m1或3m4，即实数m的取值范围为(3，1)(3,4)- 6 - 版权所有高考资源网
