1、第一章 计数原理5 二项式定理第10课时 二项式系数的性质基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.了解杨辉三角的意义，并能利用杨辉三角推导二项式系数的性质.2.掌握二项式系数的有关性质，并能运用它们解决简单问题.基础巩固一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1已知关于x的二项式x a3 xn展开式的二项式系数之和为32，常数项为 80，则 a 的值为()A1 B1C2 D2C解析：由条件知 2n32 即 n5，在通项公式 Tr1Cr5(x)5ra3 xrCr5arx155r6 中，令155r60 得 r3，所以 C35a380.解得 a2.故选 C.2已知1x x
2、n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于()A15 B15C20 D20A解析：由题意知，n6，Tr1Cr61x6r(x)r(1)rCr6x32r6.令32r60，得 r4.故 T5(1)4C4615.故选 A.3设33 x 1xn 的展开式中的各项系数之和为 p，而它的二项式系数之和为 s.若 ps272，那么展开式中含 x2 项的系数是()A81 B54C12 D1D解析：令 x1，得 p4n，而 s2n，故 ps4n2n272，(2n)22n2720，即(2n16)(2n17)0，解得 2n16 或 2n17(舍去)，故 n4.因为 Tr1Cr4(33 x)4r1
3、xr34rCr4x85r6，令85r62，解得 r4，故 34rCr43011.所以含 x2 项的系数是 1.4(x1)11 展开式中 x 的奇次项系数之和是()A2 048 B1 023C1 024 D1 024D解析：(x1)11a0 x11a1x10a2x9a11，令 x1，则a0a1a2a11211，令 x1，则 a0a1a2a110，a0a2a4a102101 024.5在1x5 1x3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则中间项系数是()A330 B462C682 D792B解析：二项展开式中所有项的二项式系数和为 2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式
4、系数和相等，故由题意得 2n11 024，n11，展开式共 12 项，中间项为第六项、第七项，其系数为 C511C611462.6已知(13x)9a0a1xa2x2a9x9，则|a0|a1|a2|a9|()A29 B49C39 D1B解析：由 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0 得|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a4a5a6a7a8a9.令 x1，得 a0a1a2a3a4a5a6a7a8a949.7设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则 a0a1a2a11 的值为()A2 B1C1 D2A解析：令 x1，得 a0a1a11(1)212(1)
5、192.8若(12x)560a0a1xa560 x560，xR，则a12 a222a323a5602560的值为()A2 B0C1 D2C解析：令 x0，得 a01；令 x12，得 a0a12 a222a56025600，则a12 a222a5602560a01.二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)9在(ab)10 的二项展开式中，系数最小的项是.252a5b5解析：在(ab)10 的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第 6 项的二项式系数最大，所以系数最小的项为 T6C510a5(b)5252a5b
6、5.10设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则 a0a2a4 a2n.3n12解析：赋值法令 x1，得 a0a1a2a2n3n；令 x1，得 a0a1a2a3a2n1，两式相加得a0a2a4a2n3n12.11将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的三角数表，从上往下数，第一次全行的数都为 1 的是第 1 行，第二次全行的数都为 1 的是第 3 行，第三次全行的数都为 1 的是第 7 行，第 n(nN)次全行的数都为 1 的是第行2n1解析：由第 1,3,7 行全为 1，归纳猜想可知第 n(nN)次全行的数都为 1 的是第 2n1 行三、解答题(本大题共 2 小题，
7、共 25 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12 分)已知 f(x)(3 x23x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：(1)令 x1，则二项展开式中各项的系数和为f(1)(13)n4n.展开式中各项的二项式系数和为 2n.由题意得 4n2n992，即(2n)22n9920，所以(2n31)(2n32)0，解得 2n31(舍去)或 2n32，所以 n5.由于 5 是奇数，所以展开式中二项式系数最大的项是中间两项，它们是 T3C25(3 x2)3(3x2)290 x6，假设 Tr1 项的系数最
8、大，则有3rCr53r1Cr15，3rCr53r1Cr15，所以5！5r！r！35！6r！r1！，5！5r！r！5！4r！r1！3，故3r 16r，15r 3r1，所以72r92.因为 rN，所以 r4，13(13 分)设(2 3x)100a0a1xa2x2a100 x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.解：(1)令 x0，则展开式为 a02100.(2)令 x1，可得 a0a1a2a100(2 3)100，a1a2a100(2 3)1002100.(3)令
9、 x1，可得 a0a1a2a3a100(2 3)100.联立相减得 a1a3a992 31002 31002.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2 3)(2 3)10011001.(5)Tr1(1)rCr1002100r(3)rxr，a2k10(kN)|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2 3)100.能力提升14(5分)把通项公式为an2n1(nN*)的数列an的各项排成如图所示的三角形数阵记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,
10、6)对应于数阵中的数是.13 57 9 1113 15 17 19101解析：设这个数阵每一行的第一个数组成数阵bn，则b11，bnbn12(n1)，所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12(n1)(n2)11n2n1，所以b1010210191，S(10,6)b102(61)101.15(15分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关如图是一个7阶的杨辉三角给出下列四个命题：记第i(iN)行中从左到右的第j(jN)个数为aij，则数列aij的通项公式为Cji；第k行各数的和是2k；n阶杨辉三角中共有n122个数；n阶杨辉三角的所有数的和是2n11.其中正确命题的序号为.解析：据第i行各个数是(ab)i的展开式的二项式系数，故数列aij的通项公式为C j1i，故错；各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，第k行各数的和是2k，故正确；第k行共有k1个数，从而n阶杨辉三角中共有12(n1)n1n22个数，故错；n阶杨辉三角的所有数的和是12222n2n11，故正确谢谢观赏！Thanks!
