1、21合情推理与演绎推理21.1合情推理1.了解合情推理的含义及作用2.理解归纳推理与类比推理的特点及步骤3.会利用归纳和类比的方法进行推理1推理(1)定义：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理(2)结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论(3)分类：推理2合情推理(1)合情推理定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理分类：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理(2)归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫
2、做归纳推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理特征归纳是从特殊到一般的过程类比是从特殊到特殊的过程1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程()(2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确()(3)类比推理得到的结论可以作为定理应用()答案：(1)(2)(3)2数列5，9，17，33，x，中的x等于()A47B65C63 D128答案：B3各项都为正数的数列an中，a11，a23，a36，a410，猜想数列an的通项公式为_答案：an数与式的推理(1)由下列各式：1312，132
3、332，13233362，13233343102，请你归纳出一般结论(2)已知数列an的第1项a11，且an1(n1，2，3，)，试归纳出这个数列的通项公式【解】(1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系：11，123，1236，123410，可得一般结论：132333n3(123n)2，即132333n3.(2)当n1时，a11；当n2时，a2；当n3时，a3；当n4时，a4.通过观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an.由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征(3)提炼
4、出等式(或不等式)的综合特点(4)运用归纳推理得出一般结论1.观察下列等式：1121，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)答案：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)2已知数列an 满足a11，an12an1(nN)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.解：(1)当n1时，a22a112113，当n2时，a32a212317，同理可得a415，a531.(2
5、)由于a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，所以可归纳猜想an2n1(nN). 归纳推理在几何图形中的应用如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN)个点，每个图形总的点数记为an，则a6_，an_(n1，nN)【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a636315.由n2，3，4，5，6的图形特点归纳得an3n3(n1，nN)【答案】153n3归纳推理在图形中的应用策略1.把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)则第七个三角形数是
6、()A27B28C29 D30解析：选B把1，3，6，10，15，21，依次记为a1，a2，则可以得到a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，a6a56，所以a7a67，即a7a6728.2根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有_个点解析：观察图形的变化规律可得：图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加(n1)个点，易得答案：1n(n1)n2n1.答案：n2n1类比推理及其应用类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想【解】如图(1)，在RtAB
7、C中，由勾股定理得：c2a2b2；类比直角三角形的勾股定理，在四面体PDEF中，如图(2)，猜想：S2SSS(S、S1、S2、S3分别是四面体PDEF的面PEF、DEF、PFD、PDE的面积)类比推理的一般步骤 1.下面使用类比推理正确的是()A“若a3b3，则ab”类推出“若a0b0，则ab”B“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”C“若(ab)cacbc”类推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类推出“(ab)nanbn”解析：选CA错，因为类比的结论a可以不等于b；B错，类比的结论不满足分配律；C正确；D错，乘法类比成加法是不成立的2已知ABC的边长分别为a，b，c，内切
8、圆半径为r，用SABC表示ABC的面积，则SABCr(abc)类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，求三棱锥ABCD的体积解：内切圆半径r内切球半径R，三角形的周长：abc三棱锥各面的面积和：SABCSACDSBCDSABD，三角形面积公式系数 三棱锥体积公式系数.所以类比得三棱锥体积VA-BCDR(SABCSACDSBCDSABD)1利用归纳推理解决问题时，要善于归纳，要对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法，要准确捕捉有用信息并进行分析，大胆猜测，小心验证即可2利用类比推理解决问题时一定要注意两类事物的相似性，例如，拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等，但类
9、比推理的结论不一定正确，需要证明在进行类比推理时，充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比，避免因类比的相似性较少，被一些表面现象迷惑导致类比结论的错误1下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A三角形B梯形C平行四边形 D矩形解析：选C只有平行四边形与平行六面体较为接近2由数列1，10，100，1000，猜测该数列的第n项可能是()A10n B10n1C10n1 D10n2解析：选B数列各项依次为100，101，102，103，由归纳推理可知，选B3在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体
10、的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：184已知f(n)1(nN)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推测当n2时，有_解析：通过观察归纳可得f(2n).答案：f(2n)A基础达标1观察数列1，5，14，30，x，则x的值为()A22B33C44 D55解析：选D观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即anan1n2，所以x305255.2给出下列三个类比结论：类比axayaxy，则有axayaxy；类比loga(xy)logaxlogay，则有sin()sin sin；类比(ab)ca(bc)，则有(xy)zx(yz)
11、其中结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C根据指数的运算法则知axayaxy，故正确；根据三角函数的运算法则知：sin()sin sin，不正确；根据乘法结合律知：(xy)zx(yz)，正确3观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2解析：选B可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相
12、加，故第n个式子中有2n1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n1的平方，故可以得到n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.4在平面直角坐标系内，方程1表示在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为m，n，c(mnc0)的平面方程为()A1 B1C1 Dmxnycz1答案：A5用火柴棒摆“金鱼”，如图所示按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：选C从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火
13、柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.6我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_解析：平面图形与立体图形的类比：周长表面积，正方形正方体，面积体积，矩形长方体，圆球答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列所以第五个不等式为1.答案：18将全体正整数排成一
14、个三角形数阵(如图)：按照以上排列的规律，第n(n3，nN)行从左向右的第3个数为_解析：前(n1)行共有正整数12(n1)(个)，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.答案：9已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an.解：因为Snn2an(n2)，a11，所以S24a2a1a2，a2.S39a3a1a2a3，a3.S416a4a1a2a3a4，a4.所以猜想an.10平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：三角形两边之和大于第三边三角形的面积S底高三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.请类比上述性质，写出空间
15、中四面体的相关结论解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积四面体的体积V底面积高四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.B能力提升11将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931A809 B853C785 D893解析：选A前20行共有正奇数13539202400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.12根据图(1)的面积关系：，可猜想图(2)有体积关系：_解析：题干两图中，与PAB，PAB相对应的是
16、三棱锥PABC，PABC；与PAB两边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.与PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为.答案：13在公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明解：结论：S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的，证明如下：因为数列an的公差d3.所以(S30
17、S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)100d300.同理：(S40S30)(S30S20)300，所以S20S10，S30S20，S40S30是等差数列且公差为300.14(选做题)观察下面两式：(1)tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；(2)tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论解：猜想：如果，都不为，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：因为，所以，所以tan()tan，所以tan tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan (1tan tan )tan tan tan 1tan tan 1.
