1、2015-2016学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A30B60C120D1352下列直线中与直线x2y+1=0平行的一条是（）A2xy+1=0B2x4y+2=0C2x+4y+1=0D2x4y+1=03在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9）和B（10，1，6）为端点的线段长是（）A49B45C7D34若点（1，a）到直线y=x+1的距离是，则实数a为（）A1B5C1或5D3或35已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程
2、为（）Axy+1=0Bxy=0Cx+y+1=0Dx+y=06已知1，x1，x2，7成等差数列，1，y1，y2，8成等比数列，点M（x1，y1）N（x2，y2），则直线MN的方程是（）Axy+1=0Bxy1=0Cxy7=0Dx+y7=07经过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+4y21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为 （）Ax2y+9=0或x+2y+3=0B2xy+9=0或2x+y+3=0Cx+2y+3=0或x2y+9=0Dx+2y+9=0或2xy+3=08对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n与相交，那么m、n是异面直线C如果m
3、，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么mn9一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD10如图，边长为2的正方形ABCD中，BE=BF=BC，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于A点，则三棱锥AEFD的体积为（）ABCD11一个蜂巢里有1只蜜蜂第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂A55986B46656C216D3612已知a0，b0且a+b=1，则（1）（1）的最小值是（）A6B7C8D9二、填空题：本大题共4小题，每小题
4、5分，共20分13已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，0），C（3，2），求第四个顶点D的坐标为_14设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为_15已知圆x2+y22x+4y20=0上一点P（a，b），则a2+b2的最小值是_16在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）、Q（x2、y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|，现有下列四个命题：已知两点P（2，3），Q（sin2，cos2）（R），则d（P，Q）为定值；原点O到直线xy+1=0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|d（P，Q
5、）；设点A（x，y）且x，yZ，若点A在过P（0，2）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的直角距离之和等于10，那么满足条件的点A只有5个其中是真命题的是_（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积18如图，已知ABC的三顶点A（1，1），B（3，1），C（1，6），EF是ABC的中位线，求EF所在直线的方程19已知圆C：（x3）2+（y4）2=4，直线l1过定点A （1，0）（）若l1与圆C相切，求l
6、1的方程；（）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程20如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AEPD；（2）若PA=AB=2，求二面角EAFC的余弦值附加题（共1小题，满分0分）21设数列an的各项都是正数，且对于nN*，都有a+a+a+a=S，其中Sn为数列an的前n项和（1）求a2；（2）求数列an的通项公式；（3）若bn=3n+（1）n1（为非零常数），问是否存在整数，使得对任意nN*，都有bn+1bn？若存在，求出的值；若不存在，说明理由2015-2016学年
7、吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A30B60C120D135【考点】直线的倾斜角【分析】将直线方程化为斜截式，得到直线的斜率后求其倾斜角【解答】解：将直线方程化为：，所以直线的斜率为，所以倾斜角为120，故选C2下列直线中与直线x2y+1=0平行的一条是（）A2xy+1=0B2x4y+2=0C2x+4y+1=0D2x4y+1=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由两直线平行的判定，逐个选项验证即可【解答】解：选项A
8、，1（1）2（2）=30，故不与已知直线平行；选项B，方程可化为x2y+1=0，以已知直线重合，故不正确；选项C，142（2）=80，故不与已知直线平行；选项D，1（4）2（2）=0，且11120，与已知直线平行故选D3在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9）和B（10，1，6）为端点的线段长是（）A49B45C7D3【考点】点、线、面间的距离计算【分析】将坐标代入距离公式计算即可【解答】解：|AB|=7故选C4若点（1，a）到直线y=x+1的距离是，则实数a为（）A1B5C1或5D3或3【考点】点到直线的距离公式【分析】由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数a的值【解答】解：点（1，a）
9、到直线y=x+1的距离是，=，即|a2|=3，解得a=1，或a=5，实数a的值为1或5故选：C5已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（）Axy+1=0Bxy=0Cx+y+1=0Dx+y=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】先求P，Q的中点坐标，再求PQ的斜率，然后求出直线l的斜率，利用点斜式求出直线l的方程【解答】解：P，Q的中点坐标为（2，3），PQ的斜率为：1，所以直线l的斜率为：1，由点斜式方程可知：y3=x2，直线l的方程为：xy+1=0故选A6已知1，x1，x2，7成等差数列，1，y1，y2，8成等比数列，点M（x1，y1）N（x2，y2）
10、，则直线MN的方程是（）Axy+1=0Bxy1=0Cxy7=0Dx+y7=0【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】由已知分别求出等差数列的公差与等比数列的公比，再分别求出M，N的坐标，代入直线方程的两点式得答案【解答】解：由1，x1，x2，7成等差数列，得，x1=3，x2=5；由1，y1，y2，8成等比数列，得，y1=2，y2=4点M（x1，y1）=（3，2），N（x2，y2）=（5，4），则直线MN的方程是：，即xy1=0故选：B7经过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+4y21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为 （）Ax2y+9=0或x+2y+3=0B2xy+9=0或2x+y+3=
11、0Cx+2y+3=0或x2y+9=0Dx+2y+9=0或2xy+3=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆心到直线l的距离d，利用弦长公式： =r2即可得出【解答】解：圆x2+y2+4y21=0配方可得：x2+（y+2）2=25，可得圆心C（0，2），半径r=5设经过点M（3，3）的直线l的方程为：y+3=k（x+3），化为：kxy+3k3=0圆心到直线l的距离d=，+=52，化为：2k23k2=0，解得k=2或直线l的方程为 x+2y+9=0或2xy+3=0故选：D8对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n与相交，那么m、n是异面直
12、线C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么mn【考点】命题的真假判断与应用【分析】由线面的位置关系，即可判断A；由空间直线与直线的位置关系，即可判断B；运用线面平行的性质定理，即可判断C；由线面平行的性质和直线与直线的位置关系，即可判断D【解答】解：对于A如果m，n，m、n是异面直线，则n或n与相交，故A错；对于B如果m，n与相交，则m，n是相交或异面直线，故B错；对于C如果m，n，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得mn，故C对；对于D如果m，n，m，n共面，则mn或m，n相交，故D错故选C9一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视
13、图求面积、体积【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为1=；四棱锥的体积为22=；故这个几何体的体积V=；故选D10如图，边长为2的正方形ABCD中，BE=BF=BC，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于A点，则三棱锥AEFD的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由ADAE，ADAF得AD平面AEF，故而VAEFD=VDAEF=，利用余弦定理求出EAF，即可得出SAEF，从而得出三棱锥的体积【解答】解：EAD=FAD=90，ADAE，ADAF，又AE平面
14、AEF，AF平面AEF，AEAF=A，AD平面AEF，AE=AF=，BE=BF=，BEBF，EF=，cosEAF=，sinEAF=，SAEF=AEAFsinEAF=，VAEFD=VDAEF=故选：B11一个蜂巢里有1只蜜蜂第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂A55986B46656C216D36【考点】归纳推理【分析】根据题意，第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，则数列an成等比数列根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有66=46656只蜜蜂【解答】解：
15、设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列an成等比数列，它的首项为6，公比q=6所以an的通项公式：an=66n1到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6=665=66=46656只蜜蜂故选B12已知a0，b0且a+b=1，则（1）（1）的最小值是（）A6B7C8D9【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】首先分析题目，由等式a+b=1求不等式的最小值，考虑到可以应用基本不等式故a+b=1，可得到，然后化简不等式，把代入即可得到最小值【解答】解：根据基本不等式a+b=1，可得到即化简不等式=（）2（）+1=9故最小值为9故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分1
16、3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，0），C（3，2），求第四个顶点D的坐标为（2，3）【考点】平面向量的坐标运算【分析】设出D，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程组求出D的坐标【解答】解：设D（x，y），A（0，1），B（1，0），C（3，2），则=（1，1），=（3x，2y），=（x，y1），=（2，2）又，1（3x）（2y）=0，2x=2（y1），解得x=2，y=3第四个顶点D的坐标为（2，3）故答案为：（2，3）14设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5【考点】简单线性规划【分析】由约束条件
17、作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大此时zmax=1+41=5故答案为：515已知圆x2+y22x+4y20=0上一点P（a，b），则a2+b2的最小值是3010【考点】圆方程的综合应用【分析】将圆的方程化为标准方程，求出原点到圆心的距离，即可求得a2+b2的最小值【解答】解：圆x2+y22x+4y20=0，化为标准方程为（x1）2+（y+2）2=25圆心坐标为（1，2
18、），半径r=5，原点到圆心的距离为，则a2+b2最小值为（5）2=3010故答案为：301016在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）、Q（x2、y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|，现有下列四个命题：已知两点P（2，3），Q（sin2，cos2）（R），则d（P，Q）为定值；原点O到直线xy+1=0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|d（P，Q）；设点A（x，y）且x，yZ，若点A在过P（0，2）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的直角距离之和等于10，那么满足条件的点A只有5个其中是真命题的是（写出
19、所有真命题的序号）【考点】进行简单的合情推理【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后结合绝对值的性质进行判定即可得到正确选项【解答】解：已知P（2，3），Q（sin2，cos2）（R），则d（P，Q）=|2sin2|+|3cos2|=1+cos2+2+sin2=4为定值，正确；设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x1x2|+|y1y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=，d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|，因为2（a2+b2）（a+b）2，所以|
20、PQ|d（P，Q），正确；过P（0，2）与Q（5，7）的直线方程为y=x+2，点A到点P与Q的“直角距离”之和等于10，则|x0|+|y2|+|x5|+|y7|=2|x0|+2|x5|=10，所以|x|+|x5|=5，所以0x5，因为xZ，所以x=0，1，2，3，4，5，所以满足条件的点A只有6个，故不正确故答案为：三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）由sinB+cosB=sin=，可得sin=1
21、，即可解得B再利用正弦定理即可得出（2）利用sinC=sin（B+A），及其SABC=，即可得出【解答】解：（1）在ABC中，sinB+cosB=sin=，sin=1，又B（0，），B+=，解得B=由正弦定理可得： =，解得sinA=，ab，A=（2）sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA=+=SABC=18如图，已知ABC的三顶点A（1，1），B（3，1），C（1，6），EF是ABC的中位线，求EF所在直线的方程【考点】待定系数法求直线方程【分析】由直线AB的斜率，得出直线EF的斜率，利用EF是ABC的中位线，求出点E的坐标，即可求EF所在直线的方程【解答】解：由已知
22、，直线AB的斜率 k=因为EFAB，所以直线EF的斜率为因为EF是ABC的中位线，所以E是CA的中点点E的坐标是（0，）直线EF的方程是 y=x，即x2y+5=019已知圆C：（x3）2+（y4）2=4，直线l1过定点A （1，0）（）若l1与圆C相切，求l1的方程；（）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式【分析】（）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求l1的方程；（）设直线方程为kxyk=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表
23、达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到l1的直线方程【解答】解：（） 若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x1），即kxyk=0由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得所求直线l1的方程是x=1或3x4y3=0（）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kxyk=0，则圆心到直l1的距离d=又三角形CPQ面积S=2=d=当d=时，S取得最大值2d=，k=1或k=7直线方程为y=x1，或y=7x720如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD
24、，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AEPD；（2）若PA=AB=2，求二面角EAFC的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由已知条件推导出AEAD，AEPA，由此能证明AE平面PAD，从而得到AEPD（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EAFC的余弦值【解答】（1）证明：四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点，ABC是等边三角形，AEBC，AEAD，PA平面ABCD，AE平面ABCD，AEPA，AEAD=A，AE平面PAD，PD平面PAD，AEPD（2
25、）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，A（0，0，0），B（，1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），设平面AEF的一个法向量为，则取z1=1，得=（0，2，1），BDAC，BDPA，PAAC=A，BD平面AFC，为平面AFC的一法向量又，cos=二面角EAFC为锐角，所求二面角的余弦值为附加题（共1小题，满分0分）21设数列an的各项都是正数，且对于nN*，都有a+a+a+a=S，其中Sn为数列an的前n项和（1）求a2；（2）求数列an的通项公式；（
26、3）若bn=3n+（1）n1（为非零常数），问是否存在整数，使得对任意nN*，都有bn+1bn？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【考点】数列的求和【分析】（1）依次令n=1，2，列方程求出a1，a2即可；（2）根据已知条件得出Sn12，与已知式子相减得出数列递推式，从而判断an为等差数列，即可得出通项公式；（3）令bn+1bn0，解出的范围即可得出结论【解答】解：（1）a+a+a+a=S，当n=1时，a13=a12，又a10，a1=1当n=2时，a13+a23=（a1+a2）2，即1+a23=（1+a2）2，a23a222a2=0，a20，a22a22=0，又a20，a2=2（2）a+a+
27、a+a=S，a+a+a+a1=S1，两式相减得an3=Sn2Sn12=an（2a1+2a2+2an1+an）=an（2Snan），an2=2Snan，当n2时，an12=2Sn1an1，两式相减得（an+an1）（anan1）=2an+an1an=an+an1，an+an10，anan1=1，an是以1为首项，以1为公差的等差数列，an=1+（n1）1=n（3）bn=3n+（1）n12n，bn+1bn=3n+1+（1）n2n+13n+（1）n12n=23n3（1）n12n令bn+1bn0，即23n3（1）n12n0，（1）n1（）n1，当n为奇数时，（）n1恒成立，1，当n为偶数时，（）n1，恒成立，0，存在整数=1，使得对任意nN*，都有bn+1bn2016年9月26日
