1、第2课时 对数的运算基础认知自主学习导思1.对数有哪些运算性质？2换底公式是什么？1.对数的运算性质如果 a0，且 a1，M0，N0，那么(1)积的对数：loga(MN)(2)商的对数：logaMN(3)幂的对数：logaMnlogaMlogaN logaMlogaN nlogaM(nR)在积的对数运算性质中，三项的乘积式 loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，loga(MNQ)logaMlogaNlogaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是 n 个正数的乘积2换底公式若 a0，且 a1；c0，且 c1；b0，则有 logab.cclog blog a(1)对数的
2、换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？提示：logablg blg a，logabln bln a.(2)你能用换底公式推导出结论nmNlogM mn logNM 吗？提示：logNnMmlg Mmlg Nn m lg Mn lg N mn lg Mlg N mn logNM.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)lg(xy)lg xlg y()提示：令 xy1，则 lg(xy)lg 2lg 10，而 lg xlg y0，不成立(2)log2(168)log216log28.()提示：等式的左边log2(168)log283，右边log216log28431.(3)log28log2
3、4 log284 1.()提示：等式的左边log28log24 32 log284.2计算 2log510log50.25 等于()A.0 B1 C2 D4【解析】选 C.原式log5102log50.25log5(1020.25)log5252.3(教材练习改编)若 log34log48log8mlog416，则 m_【解析】原方程可化为lg 4lg 3 lg 8lg 4 lg mlg 8 lg mlg 3 2，即 lg m2lg 3lg 9，所以 m9.答案：9能力形成合作探究类型一 对数运算性质的应用(数学运算)【典例】1.(2021邯郸高一检测)log44 8()A.14 B38 C1
4、3 D122已知 alog32，用 a 来表示 log382log36 为()A.a2 B5a2C3a(1a)2D3aa213计算：lg 5(lg 8lg 1 000)(lg 23)2lg 16 lg 0.06.【思路导引】1.直接用对数运算性质求解2变形 823，623，利用对数运算性质展开后代入 a.3综合利用对数的运算性质求值【解析】1.选 B.log44 8 14 log4814 32 log2238.2选 A.log382log363log322(log32log33)3a2(a1)a2.3原式lg 5(3lg 23)3(lg 2)2lg 6lg 623lg 5lg 23lg 53(
5、lg 2)223lg 2(lg 5lg 2)3lg 523lg 23lg 523(lg 2lg 5)21.利用对数运算求值的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).计算：log3 27lg 4lg 25.【解析】原式log3(3)62lg 22lg 562(lg 2lg 5)8.【补偿训练】求下列各式的值：(1)1364 2lg 2lg 25.(2)log2748 log21212 log242.(3)2lg 4lg 9112lg 0.3613lg 8.【解析】(1)原式(43)13lg 4lg 2514 lg 10
6、014 294.(2)原式12(log27log248)log232log2212(log22log23log27)12 log2712 log2312 log21612 log23212 log2712 12.(3)原式2lg 42lg 3112lg 0.3613lg 82lg 121lg 0.6lg 2 2lg 12lg 122.类型二 换底公式的应用(数学运算)【典例】1.(log43log83)(log32log92)_2已知 log189a，18b5，用 a，b 表示 log3645 的值【思路导引】利用换底公式求值或变形【解析】1.原式lg 3lg 4lg 3lg 8lg 2lg
7、3lg 2lg 9lg 32lg 2 lg 33lg 2lg 2lg 3 lg 22lg 35lg 36lg 23lg 22lg 3 54.答案：542方法一：因为 18b5，所以 log185b.所以 log3645log1845log1836 log18（95）log18（182）log189log1851log182ab1log18189ab2a.方法二：因为 18b5，所以 log185b.所以 log3645log18（95）log181829log189log1852log1818log189 ab2a.方法三：因为 log189a，18b5，所以 lg 9a lg 18，lg 5
8、b lg 18.所以 log3645lg 45lg 36 lg（95）lg 1829lg 9lg 52lg 18lg 9 a lg 18b lg 182lg 18a lg 18 ab2a.利用换底公式进行化简和求值(1)一般先换底为常用对数或自然对数再进行化简求值(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用(3)注意常见结论的应用，如对数的倒数公式 1logab logba.1已知 log1227a，求 log616 的值2计算(log2125log425log85)(log52log254log1258)的值【解析】1.由 log1227a，得3lg 32lg 2lg 3 a，所以 lg 2
9、3a2alg 3.所以 log616lg 16lg 6 4lg 2lg 3lg 2 43a2a13a2a4（3a）3a.2方法一：原式log253log225log24 log25log28log52 log54log525 log58log51253log252log252log22 log253log22log522log522log553log523log553113log25(3log52)13log25log22log25 13.方法二：原式lg 125lg 2 lg 25lg 4 lg 5lg 8lg 2lg 5 lg 4lg 25 lg 8lg 1253lg 5lg 2 2lg
10、52lg 2 lg 53lg 2lg 2lg 52lg 22lg 53lg 23lg 513lg 53lg 23lg 2lg 513.方法三：原式(132log 5 222log 5 312log 5)(15log 2 225log 2 335log 2)3log25log2513log25(log52log52log52)3113log253log52133 313.类型三 对数运算性质的综合应用(数学运算)角度 1 与方程有关的对数问题【典例】若 2lg(x2y)lg xlg y，则yx 的值为()A4 B1 或14C1 或 4 D14【思路导引】将原式去掉对数转化为含 x，y 的方程【解
11、析】选 D.因为 2lg(x2y)lg xlg y，所以 lg(x2y)2lg(xy)，(x2y)2xy，所以 x24y25xy0，所以 4yx25yx10，解得yx 14，或yx 1(舍)，所以yx 的值为14.本例中的方程改为 lg xlg y2lg(2x3y)，试求yx 的值【解析】因为 lg xlg y2lg(2x3y)，所以x0，y0，2x3y0，xy（2x3y）2，解得yx 49 或yx 1(舍去).所以yx 49.角度 2 实际应用问题【典例】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是 Mlg Alg A0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A0 是“标准地震”的振幅，M
12、为震级则 8 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的_倍【思路导引】利用公式表示出 8 级、5 级时的最大振幅求比值【解析】由 Mlg Alg A0 可得，Mlg AA0，即 AA0 10M，AA010M，当 M8 时，地震的最大振幅为 A8A0108；当 M5 时，地震的最大振幅为 A5A0105；所以两次地震的最大振幅之比是：A8A5 A0108A0105 10851 000.所以 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000 倍答案：1 0001与对数方程有关的问题利用对数的性质转化为普通方程，通过变形求解，得出结论后要验证方程中的对数式是否有意义2与对数相关的实际问题对
13、数可以解决一些比较庞大的数据运算，因此在天文、物理、考古等问题中有广泛的应用，首先将实际问题利用对数表示，再利用对数、指数运算解决问题1方程 log2(2x)log2(3x)log212 的解 x_【解析】因为方程 log2(2x)log2(3x)log212，所以2x0，3x0，（2x）（3x）12，即x2，x25x60，解得 x1.答案：12某工厂从 2000 年的年产值 1 000 万元增加到 2018 年的 5 000 万元，如果每年年产值增长率相同，则每年年产值增长率是多少？(ln(1x)x，取 lg 50.7，ln 102.3)【解析】设每年年产值增长率为 x，根据题意得 1 00
14、0(1x)185 000，即(1x)185，两边取常用对数，得 18lg(1x)lg 5，即 lg(1x)lg 518 118 0.7.由换底公式，得ln（1x）ln 100.718，由已知条件 ln(1x)x，得 xln(1x)0.718 ln 100.72.3180.089 49%，所以每年年产值增长率约为 9%.备选类型 半衰期中的对数运算问题(数学建模)在物理学上，一个放射性同位素的半衰期是指一个样本内，其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间测定古植物的年代可用放射性碳法在植物内部含有微量的放射性元素 14C，在植物死亡后，新陈代谢停止，14C 就不再产生，且原有的 14C会自动衰
15、变，经过 5 730 年(14C 的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的12，经过科学测定，若 14C 的原始含量为 a，则经过 t 年后的残余量 at 与 a 之间满足关系式 ataekt.现有一出土古植物，其中的 14C 的残余量占原始含量的 87.9%，试推算出这个古植物死亡的时间(lg 20.30 10，lg 0.8790.056)1由题意可建立对数运算模型求解；2已知 ataekt.当 t5 730 时，ata 12.若ata 0.879，试求 t 的值(lg 20.301 0，lg 0.8790.056)3因为 ataekt，所以ata ekt.两边取以 10 为底的对数，得 lg
16、 ata kt lg e因为 t5 730 时，ata 12，所以 lg 12 5 730klg e，所以 k lg e lg 25 730，所以t5 730lg 2lgata，因为ata 0.879，所以 t5 730lg 2lg 0.8791 066.4这个古植物约是 1066 年前死亡的学情诊断课堂测评1下列式子中成立的是()Aloga xloga yloga(xy)B(loga x)nnloga xClogaxnlogan xDlogaxlogay loga xloga y【解析】选 C.根据对数的运算性质知，C 正确2若 logablog3a4，则 b 的值为_【解析】logablo
17、g3alg blg a lg alg 3 lg blg 3 4，所以 lg b4lg 3lg 34，所以 b3481.答案：813已知 2m5n10，则1m 1n _【解析】因为 mlog210，nlog510，所以1m 1n log102log105lg 101.答案：14(教材练习改编)求下列各式的值：(1)lg 142lg 73 lg 7lg 18.(2)2lg 2lg 32lg 0.362lg 2.【解析】(1)方法一：原式lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(322)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.方法二：原式lg 14lg 732lg 7lg 18lg 14773218lg 10.(2)原式2lg 2lg 32lg 3622lg 2 2lg 2lg 32（lg 2lg 3）2lg 22lg 2lg 34lg 22lg 3 12.
