1、天津市经济技术开发区第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. D分析：求出集合，再与集合取交集即可.解答：由题意，所以.故选：D.点拨：本题考查集合的交集，考查不等式的解法，属于基础题.2. “”是“直线平行于直线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件A分析：根据两条直线平行的条件以及充分而不必要条件的概念可得结果.解答：当时，直线与直线平行，当直线平行于直线时，解得，所以“”是“直线平行于直线”的充分而不必要条件.故选：A
2、点拨：结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含3. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. A分析：由函数值的正负排除B，由函数的奇偶性排除C，由函数在时的变化趋势排除D从而得正确选项解答：由题意，排除B；又，不是偶函数也不是奇函数，排除C；当时，排除D故选：A点拨：本题考查函数函数解析式选取函数图象，解题方法是排除法，通过研究的性质，函数值
3、的正负，变化趋势等排除错误选项，后可得正确选项4. 与垂直，且与圆相切的一条直线是（ ）A. B. C. D. B分析：设与直线垂直的直线方程为，求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的方程解答：设与直线垂直的直线方程为，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为半径2，即或，所以，或，由选项可知B正确，故选B.点拨：本题是基础题,考查直线的垂直,直线与圆的位置关系,考查计算能力,注意直线的设法,简化解题过程.5. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 的表达式可以是（ ）A. B. C. D. A解答：试题分析：将函数的图象向左平移个单位得考点：三角函数图像平移6.
4、若，则a，b，c三者的大小关系是（ ）A. B. C. D. C分析：直接利用指数函数和对数函数的单调性比较判断.解答：因为，又，则，又，则，所以，故选：C7. 如图，在长方体中，E、F分别是、的中点，则直线与平面所成的角的正弦值大小是（ ） A. B. C. D. B分析：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得结果.解答：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，得，取，则，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.故选：B点拨：关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.8. 已知函数，且在区间上递减，则（ ）A. 3B. 2
5、C. 6D. 5B解答：试题分析：在上单调递减，且，.考点：两角和的正弦公式、三角函数的单调性.9. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. A分析：化为有个实根，设，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果.解答：因为函数有3个零点，所以有个实根，设，当时，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以在时取得极大值，当时，为减函数，作出函数的图象如图：由图可知，.故选：A点拨：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，
6、转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知是虚数单位，则复数的实部是_.3分析：根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.解答：复数复数的实部为3.故答案为：3.点拨：本题考查复数的基本概念，是基础题11. 已知圆C经过点，和直线相切，且圆心在直线上.则圆的方程为_.分析：设圆的方程为，根据题设条件，列出方程组，求得的值.解答：由题意，圆的圆心在直线，可设圆心坐标为，则圆的方程为，又由圆经过点，和直线相切，可得，整理得，解得，
7、所以圆的方程为.故答案为：12. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_解答：试题分析：设A ，B ，则，M是线段AB的中点，直线AB的方程是，过点M（1，1）作斜率为直线与椭圆C：（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即考点：椭圆的简单性质13. 已知圆圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为_解答：设圆心坐标C(a，b)圆心与P关于直线y=x+1对称直线CP与y=x+1垂直y=x+1的斜率为1直线CP的斜率为-1化简得：a+b+1=0 CP的中点在直线y=x+1上化简得：a-b-1=0 联立得到：a=0，b=-1圆心
8、的坐标为：(0，-1)圆心C到直线AB的距离d=,根据勾股定理得到半径=18圆的方程为.14. 设正实数满足满足，则当取最小值时，的最大值为_2解答：试题分析：上式变形为，得，当且仅当时取等号，当时取得最大值为2考点：基本不等式、函数的最值15. 在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则PAB面积的最大值是_分析：根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.解答：设圆心到直线距离为，则所以令（负值舍去）当时，；当时，因此当时，取最大值，即取最大值为，故答案为：点拨：本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解
9、答题（本大题共6小题，共75分）16. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为(1) 求和的值；(2) 求的值（1），（2）分析：（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.解答：（1）ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,点拨：本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，平面平面，且.（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）已知点H在棱上，且异面直线与所成角余弦值为，求线段的长.（1）证明见解析；（2）；（3）.分析：
10、（）推导出，从而平面平面，由此能证明平面（）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小（）设，利用向量法能求出线段的长解答：（）证明：四边形是正方形，四边形是梯形，平面平面，平面，平面（）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，2，0，2，0，2，2，0，设平面的法向量，则，取，得，1，设平面的法向量，则，取，得，1，设二面角的大小为，由图形得为钝角，则，二面角的大小为（）点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，设，则，0，0，0，2，解得，线段的长为点拨：方法点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面
11、间的位置关系等基础知识，对于空间中角的问题，往往建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法求解.18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，椭圆经过点. （1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右顶点，交椭圆于另一点，点在直线上，且.若，求直线的斜率（1）；（2）.分析：（1）利用椭圆的定义可求得的值，利用可求得的值，进而可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，由题中条件求出点的坐标，由得出，据此计算出实数的值，进而可求得直线的斜率.解答：（1）易知点，由椭圆的定义得，因此，椭圆的方程为；（2）由题意可知，直线的斜率存在，且斜率不为零，设直线的方程为，设点，
12、联立，消去得，则，所以，点的坐标为，则，可得，所以，点的坐标为，则，所以，解得，因此，直线的斜率为.点拨：本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用直线垂直求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.19. 已知数列满足：，且.（）求的值及数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.（）,（）分析：（）分别令可求得的值，分为奇数和偶数讨论，可得奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，根据等差、等比数列的通项公式可得结果；（）求出后，根据错位相减法可求得结果.解答：（）在中，令，得，所以，令，得，所以，令，得，所以，令，得，所以，当为奇数时，即，令，则，当为偶数时，即，令，则，所以.（）,所以，所以，所以，
13、所以，所以.点拨：关键点点睛：分为奇数和偶数讨论，得到奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，再根据等差、等比数列的通项公式求解是解题关键.20. 已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）若当时，恒成立，求实数a的取值范围；（）的极小值为，当时，求证：.（为自然对数的底）（）（）（）证明见解析分析：（）利用导数的几何意义可求得结果；（）求导后，分和讨论可求得结果；（）利用导数求出，再利用导数可证成立.解答：（），所以曲线在点处的切线方程为.（）由（）知，当，即时，因为，所以，所以，即，所以在上为增函数，所以，当，即时，因，令，得，得，所以在上递减，所以当时，不合题意，综上所述：实数a的取值范围是.（）令，得，得，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以的极小值为，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以，当时，要证，转化为证，转化为证，转化为证，转化为证，令，则，当时，为减函数，当时，增函数，所以，即，所以，所以.点拨：关键点点睛：将所证不等式等价转化后，构造函数，利用导数证明 不等式成立是解题关键.
