1、考点规范练68不等式选讲考点规范练B册第50页基础巩固组1.(2015河北唐山一模)已知函数f(x)=|2x-a|+|x+1|.(1)当a=1时,解不等式f(x)3;(2)若f(x)的最小值为1,求a的值.解:(1)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=-3x,x12,且f(1)=f(-1)=3.所以f(x)3的解集为x|-1x-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|m对任意实数x恒成立.因为对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5,所以m5,即m的取值范围是(-,5).3.(2015辽宁鞍山一模)设函数f(x)=x2-2x.(1)解不等式|f(
2、x)|+|x2+2x|6|x|;(2)若实数a满足|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2|a|+3.(1)解:原不等式|f(x)|+|x2+2x|6|x|可化为(|x-2|+|x+2|)|x|6|x|,解得x-3或x3或x=0.原不等式的解集为x|x-3或x3或x=0.(2)证明:f(x)=x2-2x,|x-a|1,|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a|x+a-2|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|x-a|+|2a-2|1+2|a|+2=2|a|+3,|f(x)-f(a)|0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a
3、+3b=6?并说明理由.解:(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,当且仅当a=b=2时等号成立.故a3+b32a3b342,当且仅当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b26ab43.由于436,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.(2015河北石家庄高三质检二)已知f(x)=3x+1a+3|x-a|.(1)若a=1,求f(x)8的解集;(2)对任意a(0,+),任意xR,f(x)m恒成立,求实数m的最大值.解:(1)当a=1时,由f(x)8得|3x+1|+3|x-1|8,当x-13时,-(3x+1)-3(x-1)8,x-1,x-1;当-13
4、x1时,3x+1-3(x-1)8,无解;当x1时,3x+1+3(x-1)8,x53.综上所述,f(x)8的解集为(-,-153,+.(2)f(x)=3x+1a+3|x-a|3x+1a-(3x-3a)=1a+3a23m.当且仅当1a=3a,即a=33时,等号成立,所以m的最大值为23.导学号929509186.已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值;(2)若a,b,c大于0,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.(1)解:f(x+2)=m-|x|,f(x+2)0等价于|x|m.由|x|m有解,得m0且其解集为x|-mxm.又f(x+
5、2)0的解集为-1,1,故m=1.(2)证明:由(1)知1a+12b+13c=1,且a,b,c大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13ca1a+2b12b+3c13c2=9,当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c9.7.(2015辽宁葫芦岛二模)已知f(x)=|2x-1|+ax-5(a是常数,aR).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集.(2)如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|+x-5=3x-6,x12,-x-4,x12.由x12,3x-60,解得x2;由x12,-x
6、-40,解得x-4.f(x)0的解集为x|x2,或x-4.(2)由f(x)=0得|2x-1|=-ax+5.作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图像,观察可以知道,当-2a2时,这两个函数的图像有两个不同的交点,函数y=f(x)有两个不同的零点.故a的取值范围是(-2,2).导学号92950919能力提升组8.(2015江西赣州高三摸底考试)设函数f(x)=|x|+|2x-a|.(1)当a=1时,解不等式f(x)1;(2)若不等式f(x)a2对任意xR恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=1-3x,x0,1-x,012,根据图像易得f(x)1的解集为x0x23.(2)当a
7、=0时显然成立,当a0时,令x=ka(kR),由f(x)a2对任意xR恒成立等价于|k|+|2k-1|a|对任意kR恒成立,由(1)知|k|+|2k-1|的最小值为12,所以|a|12,即-12a12且a0.综上,实数a的取值范围为-12a12.导学号929509209.已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.解:(12+12+12)(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2(13a+1+13b+1+13c+1)2,(3a+1+3b+1+3c+1)233(a+b+c)+3.又a+b+c=1,(3a+1+3b+1+3c+1)218,3a+1+3b+1
8、+3c+132.当且仅当3a+1=3b+1=3c+1时,等号成立.(3a+1+3b+1+3c+1)max=32.10.(2015河北石家庄一模)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|-m的定义域为R.(1)求实数m的取值范围;(2)若m的最大值为n,当正数a,b满足23a+b+1a+2b=n时,求7a+4b的最小值.解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,所以|x+1|+|x-3|-m0恒成立.设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值.又|x+1|+|x-3|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,所以m4.(2)由(1)知n=4,所以7a+4b=(7a+4b)23a+b+1a+2b4=(6a+2b+a+2b)23a+b+1a+2b4=5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b45+44=94.当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=310时,等号成立.所以7a+4b的最小值为94.导学号929509213
