1、2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质基础认知自主学习导思1.什么样的函数是对数函数？2对数函数有哪些性质？1.对数函数函数叫做对数函数，其中自变量是 x，定义域是ylogax(a0，且a1)(0，)(1)对数函数 ylogax 的定义域为什么是(0，)?提示：axNlogaNx，真数为幂值 N，而 N0，故式子 logax 中，x 的范围为(0，).(2)对数函数的解析式有何特征？提示：a0，且 a1；logax 的系数为 1；自变量 x 的系数为 1.2对数函数的图象及性质 对数函数为什么一定过点(1，0)?提示：当 x1 时，loga10 恒成立，即对数函数的图象一定
2、过点(1，0).1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)ylogx5 是对数函数()提示：ylogx5 不是对数函数，对数函数的底数是常数(2)yloga(2x)(a0，且 a1)是对数函数()提示：对数函数自变量 x 的系数为 1.(3)对数函数的图象都在 y 轴的右侧()提示：由对数函数的图象可知正确(4)若对数函数 ylog(2a)x 是减函数，则 0a12.()提示：由对数函数的单调性可知，02a1，所以 0a0，得 x2，所以函数的定义域为(2，).3已知函数 f(x)log3xlog 13x，则 f(3)_.【解析】f(3)log3 3 log 133 12 12 0.答案：0能
3、力形成合作探究类型一 对数函数的概念及应用(数学抽象、直观想象)1下列函数是对数函数的是()A.ylog3(x1)B.yloga(2x)(a0，且 a1)C.yln xD.ylogax2(a0，且 a1)2若函数 f(x)是函数 y10 x 的反函数，则 f110_【思路导引】1.根据对数函数解析式的特征判断2根据反函数的定义求出 f(x)的解析式，再求值【解析】1.选 C.根据对数函数解析式的特征可得，只有 yln x 为对数函数2由指数函数反函数的定义知 f(x)lg x，所以 f110lg 110 1.答案：1 判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如 yloga
4、x(a0，且 a1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为 1.(2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数(3)对数的真数仅有自变量 x.1已知函数 f(x)是对数函数，且 f(5)1，则 f(3)f253_.【解析】设 f(x)logax(a0，且 a1).因为 f(5)loga51，所以 a5，所以 f(x)log5x，所以 f(3)f253log53log5253 log5252.答案：22函数 f(x)(a2a1)log(a1)x 是对数函数，求实数 a 的值及 f(x)的解析式【解析】a2a11，解得 a0 或 1.又因为 a10，且 a11，所以 a1.所以 f(x)log2x.
5、【补偿训练】已知下列函数：ylog12(x)(x0)；y2log4(x1)(x1)；yln x(x0)；ylog(a2a)x(x0，a 是常数).其中，是对数函数的是_.(只填序号)【解析】对于，自变量是x，故不是对数函数；对于，2log4(x1)的系数为2，而不是 1，且自变量是 x1，不是 x，故不是对数函数；对于，ln x 系数为 1，自变量是 x，故是对数函数；对于，底数 a2aa12214，当 a12 时，底数小于 0，故不是对数函数答案：类型二 对数函数的定义域和值域(数学抽象、数学运算)角度 1 定义域问题【典例】1.(2020北京高考)函数 f(x)1x1 ln x 的定义域是
6、_2函数 f(x)lg x lg(53x)的定义域是_【思路导引】1.利用分母不为零、真数大于零求定义域2列出不等式组，结合图象、真数大于零求范围【解析】1.由得 x0.答案：(0，)2由解得所以 1x53，所以定义域为x|1x53.答案：x|1x1 时，函数 f(x)logax 在(0，)上是增函数，所以在区间a，2a上，f(x)minlogaa1，所以 f(x)max3，所以 loga(2a)3，所以 a 2.综上所述，a 的值为 24或 2.1求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为 0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负(3)对数的真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.(4
7、)对于对数函数，若出现例如 log2x0 的不等式，可以结合 ylog2x 的图象判断 x的范围2关于对数函数的值域首先考虑对数函数的底数大小，以确定函数的单调性，底数大小不确定的分类讨论其次表示出函数的最值后，进一步解题1函数 y2x lg(1x)的定义域为_【解析】由题意得2x0，1x0，解得1x2，所以原函数的定义域为x|1x2答案：x|1x22函数 ylog(x1)(164x)的定义域为_【解析】由164x0，x10，x11，得x1，x0，所以函数的定义域为(1，0)(0，2).答案：(1，0)(0，2)3若对数函数 ylogax 在2，4上的最大值与最小值的和为 3，则 a_【解析】
8、由题意 loga2loga43，即 loga83.所以 a38，所以 a2.答案：2【补偿训练】函数 f(x)11x lg(1x)的定义域是()A(，1)B(1，)C(1，1)(1，)D(，)【解析】选 C.由题意知1x0，1x0，解得 x1，且 x1.类型三 对数函数的图象(直观想象)【典例】1.函数 yloga(x2)1 的图象过定点()A(1，2)B(2，1)C(2，1)D(1，1)2如图，曲线 C1，C2，C3，C4 分别对应函数 y1alog x，y2alog x，y3alog x，y4alog x 的图象，则()A.a4a31a2a10 Ba3a41a1a20Ca2a11a4a30
9、 Da1a21a3a403作出函数 y|log2(x1)|2 的图象【思路导引】1、2 根据对数函数的图象解决问题3 利用图象的变换作图【解析】1.选 D.令 x21，即 x1，得 yloga111，故函数 yloga(x2)1 的图象过定点(1，1).2选 A.作直线 y1，它与曲线 C1，C2，C3，C4 的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有 a4a31a2a10.3第一步：作 ylog2x 的图象，如图所示第二步：将 ylog2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得 ylog2(x1)的图象，如图所示第三步：将 ylog2(x1)的图象在 x 轴下方的部
10、分作关于 x 轴的对称变换，得 y|log2(x1)|的图象，如图所示第四步：将 y|log2(x1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，即得到所求的函数图象，如图所示1关于对数函数的图象问题(1)关注函数的单调性，即图象上升、下降的特点(2)关注题目中函数与对数函数的关系，主要从平移，与 x，y 轴的位置关系等方面观察(3)关注特殊点的取值加以判断2对数函数图象过定点问题求函数 ymlogaf(x)(a0，且 a1)的图象过定点时，只需令 f(x)1 求出 x，即得定点为(x，m).已知 a0 且 a1，函数 ylogax，yax，yxa 在同一坐标系中的图象可能是()【解析】选 C
11、.函数 ylogax 与 yax 的单调性相同，故排除 B；A 中，由 ylogax 与yax 的图象知 a1，而由 yxa 的图象知 0a1，矛盾；D 中，由 ylogax 与yax 的图象知 0a1，而由 yxa 的图象知 a1，矛盾【补偿训练】关于函数 f(x)log 12|x|，下列结论正确的是()A值域为(0，)B图象关于 x 轴对称C定义域为 RD在区间(，0)上单调递增【解析】选 D.因为 f(x)log 12|x|，所以 f(x)的值域是 R，A 错误，函数的图象关于 y 轴对称，B 错误，函数的定义域是(，0)(0，)，C 错误，函数 f(x)在区间(，0)上单调递增，D 正
12、确学情诊断课堂测评1函数 f(x)(a2a5)logax 为对数函数，则 a 等于()A3 B2 C1 D0【解析】选 B.因为函数 f(x)(a2a5)logax 为对数函数，所以a2a51，a0，a1，解得 a2.2函数 ylog2x 在区间(0，2上的最大值是()A2 B1 C0 D1【解析】选 B.函数在(0，2上单调递增，故 x2 时，y 的值最大，最大值是 1.3若函数 f(x)ax1 的反函数的图象过点(4，2)，则 a_【解析】因为 f(x)的反函数的图象过点(4，2)，所以 f(x)的图象过点(2，4)，所以 a214，所以 a4.答案：44(教材练习改编)函数 f(x)log2x1 的定义域为_【解析】要使函数 f(x)有意义，则 log2x10，即 x2，则函数 f(x)的定义域是2，).答案：2，)5已知 f(x)log3x.(1)作出这个函数的图象(2)当 0af(2)的 a 值【解析】(1)作出函数 ylog3x 的图象如图所示(2)令 f(x)f(2)，即 log3xlog32，解得 x2.由如图所示的图象知：当 0a2 时，恒有 f(a)f(2).故当 0af(2)的 a 值
