1、22 最大值、最小值问题01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理 函数的最大值与最小值1函数 yf(x)在区间a，b上的最大值点 x0 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过 f(x0)2.最大值或者在_取得，或者在_取得极大值点区间的端点3要想求函数的最大值，应首先求出函数的极大值点，然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较，其中_即为函数的最大值4函数的最小值点也具有类似的意义和求法函数的_和_统称为最值最大的值最小值最大值双基自测1函数 f(x)2xcos x 在(，)上()A是增函数，无最值 B是减函数，无最值C有最大值D有最小值解析：f(x)2
2、sin x0，f(x)在(，)上为增函数答案：A2将 8 分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A2 和 6 B4 和 4C3 和 5 D以上都不对解析：设其中一个数为 x，则另一个数为 8x，yx3(8x)3,0 x8，y3x23(8x)2，令 y0，即 3x23(8x)20，得 x4.当 0 x4 时，y0；当 4x8 时，y0.所以当 x4 时，y 最小答案：B3用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cmC10 cm D1
3、2 cm解析：设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3，由题意，得 Vx(482x)2(0 x24)，V12(24x)(8x)令 V0，则在(0,24)内有解 x8，故当 x8 时，V 有最大值答案：B4若函数 f(x)在a，b上满足 f(x)0，则 f(a)是函数的最_值，f(b)是函数的最_值解析：f(x)0，所以 f(x)在a，b上是增加的，f(b)为最大值，f(a)为最小值大小探究一 求函数的最值 例 1 求下列函数在给定区间上的最值：(1)f(x)2x33x212x5，x2,3；(2)f(x)sin 2xx，x2，2解析(1)f(x)6x26x12，令 f(x)0
4、，则 6x26x120，即 x2x20，解得 x11，x22.f(1)12，f(2)15，f(2)1，f(3)4，函数 f(x)2x33x212x5 在 x2,3上的最大值为 12，最小值为15.(2)f(x)2cos 2x1，令 f(x)0，又 x2，2，得 x3或 x3.f(3)32 3，f(3)32 3，又 f(2)2，f(2)2，f(x)max 32 3，f(x)min 32 3.求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值1设函数 f(x)ln(2x3)x2
5、.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)求 f(x)在区间34，14上的最大值和最小值所以 f(x)在区间(32，1)，(12，)上是增加的，在区间(1，12)上是减少的解析：f(x)的定义域为(32，)(1)f(x)22x32x4x26x22x322x1x12x3.当32x0；当1x12时，f(x)12时，f(x)0.(2)由(1)知 f(x)在区间34，14上的最小值为f(12)ln 214.又因为 f(34)f(14)ln32 916ln72 116ln371212(1ln499)0，所以 f(x)在区间34，14上的最大值为f(14)116ln72.探究二 求含参数的函数的最值 例 2
6、已知 a 是实数，函数 f(x)x2(xa)(1)若 f(1)3，求 a 的值及曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求 f(x)在区间0,2上的最大值解析(1)f(x)3x22ax，因为 f(1)32a3，所以 a0.又当 a0 时，f(1)1，f(1)3，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 3xy20.(2)令 f(x)0，解得 x10，x22a3.当2a3 0，即 a0 时，f(x)在0,2上是增加的，从而 f(x)maxf(2)84a；当2a3 2，即 a3 时，f(x)在0,2上是减少的，从而 f(x)maxf(0)0；当 02a3 2，即 0a3 时
7、，f(x)在0，2a3 上是减少的，在2a3，2上是增加的，从而 f(x)max84a，0a2，0，2a2.含参数时，应分类讨论，应分清讨论的原因，如本题要比较两根在不在区间0，2)内或根之间要分出大小2已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值解析：(1)f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上是增加的，
8、所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1上是减少的，在(k1,1上是增加的，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0,1上是减少的所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.探究三 生活中的优化问题 例 3 某种商品每件的成本为 9 元，当售价为 30 元时，每星期可卖出 432 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0 x21)的平方成正比已知商品单价降低 2 元时，每星期可多卖出 24 件(1
9、)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解析(1)设商品降价 x 元，则多卖的商品数为 kx2，若记商品在一个星期里的获利为 f(x)，则有 f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知条件，24k22，于是有 k6.所以 f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)令 f(x)0，即18(x2)(x12)0，得 x12，x212.当 x 变化时，f(x)，f(x)如下表：因为 f(0)9 072f(12)11 664，所以 x12
10、 时，f(x)取得最大值；即当定价为 301218 元时，能使一个星期的商品销售利润最大x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值0利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 yf(x)；(2)求函数 f(x)的导数 f(x)，并解方程 f(x)0，即求函数可能的极值点；(3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值；(4)根据实际问题的意义给出答案3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系
11、式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析：(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，所以 a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310(x6)2210(x3)(x6)2，3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3
12、,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值 42由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大导数在解决实际问题中的应用 例 4(本题满分 12 分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a 元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2 万件(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公
13、司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值 Q(a)解析(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为：L(x3a)(12x)2，x9,11.2 分(2)L(12x)(182a3x)，令 L0，得 x623a 或 x12(不合题意，舍去)因为 3a5，所以 8623a283.在 x623a 两侧，由左向右 L的值由正变负，4 分所以当 8623a9，即 3a92时，LmaxL(9)9(6a)，当 9623a283，即92a5 时，LmaxL623a 4313a 3.9 分Q(a)96a，3a92，4313a 3，92a5.10 分即若 3a92时，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q(a)9(6a)(万元)；若92a5 时，则当每件售价为623a 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q(a)4313a 3(万元).12 分规范与警示 L0 的点求解要正确，关键点分类讨论要准确，易错点正确确定函数取得最大值的点，可结合图像单调性求解在解含有参数的问题时，一定要注意分类讨论，解决此类实际应用题时，要注意解答过程的规范性，对于分类讨论得到的结果，如本例最大利润的结果表达式，要写成分段的形式，最后一定要进行总结03 课后 巩固提升