1、单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)单元质检卷第18页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是() A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0答案:D解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x212-y24=1的渐近线的距离为()A.1B.3C.33D.36答案:A解析:
2、抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x212-y24=1的渐近线x3y=0的距离d=|20|1+3=1.3.(2015石家庄高三质检二)若圆(x-5)2+(y-1)2=r2(r0)上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1,则实数r的取值范围为()A.4,6B.(4,6)C.5,7D.(5,7)答案:B解析:利用圆的几何性质求解,因为圆心(5,1)到直线4x+3y+2=0的距离为|20+3+2|5=5,又圆上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离为1,则4rb0)的短轴端点分别是B1,B2,左,右焦点分别是F1,F2,右顶点为A,若F2A+F2B1+F2B2=0,则椭
3、圆离心率为()A.22B.32C.12D.13答案:D解析:由椭圆对称性可知,F2B1+F2B2=F2F1,则F2F1+F2A=0.因此|F2A|=|F1F2|,即2c=a-c.故e=13.5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.33B.22C.14D.12答案:D解析:由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=c2.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.6.(2015江西南昌
4、一模)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=2-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为()A.150B.135C.120D.不存在导学号92950691答案:A解析:结合图形求解.曲线y=2-x2是半圆(如图),当AOB的面积最大时,AOB=90,此时圆心O到直线AB的距离OC=1,又OP=2,易得CPO=30,所以直线l的倾斜角为150,故选A.7.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B两点,则CACB的值为()A.-1B.0C.1D.10答案:B解析:依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离等于|3-3+
5、2|2=2,cosACB2=22,ACB2=45,ACB=90,CACB=0,故选B.8.(2015湖北,理8)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2导学号92950692答案:D解析:由条件知e12=c2a2=1+b2a2,e22=1+b+ma+m2,当ab时,b+ma+mba,e12e22.e1e2.当ab时,b+ma+me22.e1e2.所以,当ab时,e1e2;当ae2.9.(2015
6、河北邯郸二模)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,若F关于直线y=3x的对称点P在双曲线上,则C的离心率为()A.2B.5+12C.3D.3+1导学号92950693答案:D解析:双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点F(c,0),设F(c,0)关于直线y=3x的对称点为P(x0,y0),则y02=3x0+c2,y0x0-c=-33,解得x0=-c2,y0=32c,即P-c2,32c.代入双曲线x2a2-y2b2=1得e2=4-23(舍),或e2=4+23.e=3+1.10.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1
7、的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A.19B.13C.3D.9答案:A解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).又双曲线x2a-y2=1的左顶点为A(-a,0),所以直线AM的斜率为41+a.由题意得41+a=1a,解得a=19.11.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是()A.4,6B.19-1,19+1C.23,27D.7-1,7+1答案:D解析:设动点D的坐标为(x,y),则由|CD|=1得(x-3)2+y2=1
8、,所以D点的轨迹是以(3,0)为圆心,1为半径的圆.又OA+OB+OD=(x-1,y+3),所以|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2,故|OA+OB+OD|的最大值为(3,0)与(1,-3)两点间的距离加1,即7+1,最小值为(3,0)与(1,-3)两点间的距离减1,即7-1.故选D.12.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1导学号92950694答案:A解析:如
9、图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.a=2.不妨设M(0,b),则|30-4b|32+4245,b1.e=ca=1-ba21-122=32.又0e1,09,则a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1k+8=14,解得k=4.若焦点在y轴上,即0k+80)的焦点是F,点M(0,2),线段MF与C的交点是N,过N作C的准线的垂线,垂足是Q,若MQF=90,则p=.答案:2解析:如图所示,MQF=90,|NF|=|NQ|,点N是RtMQF的边MF的中点,Np4,1,|NQ|
10、=12|MF|.p4+p2=12p22+22,p2=2.解得p=2.15.如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别是F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为.导学号92950696答案:5-12,1解析:设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),B1PA2为钝角可转化为B2A2,F2B1所夹的角为钝角,则(a,-b)(-c,-b)0,得b2ac,即a2-c20,即e2+e-10,解得e5-12或e-5-12.又0e1,5-12e1.16.已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(
11、0,66).当APF周长最小时,该三角形的面积为.导学号92950697答案:126解析:设双曲线的左焦点为F1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.A(0,66),F1(-3,0),直线AF1的方程为x-3+y66=1,即x=y26-3.将其代入x2-y28=1得y2+66y-96=0,解得y=26或y=-86(舍去),因此点P的纵坐标为26.SAP
12、F=SAF1F-SPF1F=12|F1F|yA-12|F1F|yP=12666-12626=126.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR),圆C:(x-1)2+(y-2)2=25.(1)证明:m为任意实数时l与圆C必相交;(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时m的值.(1)证明:直线l方程变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.对任意实数m方程成立.2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1.对任意实数m,直线l恒过定点P(3,1).又|PC|=5b0)的短轴长为2,离心率为22,过右焦点F的直线l
13、交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得(MP+MQ)(MP-MQ)=0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)由椭圆短轴长为2得b=1,又e=a2-1a=22,a=2,所求椭圆方程为x22+y2=1.(2)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1),使得(MP+MQ)(MP-MQ)=0成立.即|MP|2-|MQ|2=0或|MP|=|MQ|.当lx轴时,显然线段OF上的点都满足条件,此时0m1;当l与x轴重合时,显然只有原点满足条件,此时m=0;当l的斜率存在且不为零时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),点P(x1,y
14、1),Q(x2,y2).由x2+2y2=2,y=k(x-1)得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),其中x2-x10,(x1+x2-2m,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)=0,(x1+x2-2m)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0,4k21+2k2-2m+k24k21+2k2-2=0,2k2-(2+4k2)m=0,m=k21+2k2=12+1k2(k0).0m12.综上所述,当lx轴时,存在0m1适合题意;当l
15、与x轴重合时,存在m=0适合题意;当l的斜率存在且不为零时,存在0m0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.解:(1)抛物线y=x2的焦点为0,14.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k14,解得k0,所以0kb0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1F1F2,|F1F2|DF1|=22,DF1F2的面积为22.(1
16、)求该椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由|F1F2|DF1|=22,得|DF1|=|F1F2|22=22c.从而SDF1F2=12|DF1|F1F2|=22c2=22,故c=1.从而|DF1|=22.由DF1F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=92,因此|DF2|=322.所以2a=|DF1|+|DF2|=22,故a=2,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的
17、标准方程为x22+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆x22+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y10,y20,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由F1P1F2P2,得-(x1+1)2+y12=0,由椭圆方程得,1-x122=(x1+1)2,即3x12+4x1=0,解得x1=-43或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,题设要求的圆不存在.当x1=-43时,又点P1在椭圆上,且P1在x轴上方,所以y1=13.过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0,y0),由CP1F1P1,得y1-y0x1y1x1+1=-1.故y0=53.圆C的半径|CP1|=-432+13-532=423.综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x2+y-532=329.导学号92950701
