1、第二章 统 计 2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样【知识提炼】1.简单随机抽样(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中_地抽 取n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会_,这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)方法:_和_.逐个不放回都相等抽签法随机数法2.抽签法与随机数法的定义(1)抽签法:把总体中的N个个体_,把_写在号签上,将号 签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取_号签,连续抽 取n次,就得到一个容量为n的样本.(2)随机数法:随机抽样中,另一个经常被采用的方法是随机数法,即利用_、_或_产生的随机数进行抽样.编号号码一个随机数表随机数
2、骰子计算机【即时小测】1.思考下列问题:(1)简单随机抽样是不放回抽样,对于放回的抽样可以是简单随机抽样吗?提示:不可以.简单随机抽样是从总体中逐个抽取的,是一种不放回抽样,也就是每次从总体中取出元素后不放回总体,若放回,则一定不是简单随机抽样.(2)采用抽签法抽取样本时,为什么将编号写在形状、大小相同的号签上,并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀?提示:为了使每个号签被抽取的可能性相等,保证抽样的公平性.2.对于简单随机抽样,每个个体每次被抽到的机会都()A.不等 B.相等 C.有时相等 D.不确定【解析】选B.简单随机抽样是等可能抽样,故每个个体每次被抽到的机会都相等.3.抽签法中确保样本代
3、表性的关键是()A.抽签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取不放回【解析】选B.逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点,不是确保样本代表性的关键,抽签时一次抽取与有放回抽取也不影响样本的代表性,故选B.4.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤:将总体中的个体编号;获取样本号码;选定开始的数字,按照一定的方向读数,这些步骤的先后顺序应为 .【解析】因为用随机数表法进行抽样,包含这样的步骤:将总体中的个体编号;选定开始的数字,按照一定的方向读数;获取样本号码.所以把题目条件中所给的三项排序为:.答案:5.某中学为了了解高一学生的年龄情况,从所有的1800名高一学生中抽出100名调查,则样本是 .
4、【解析】样本是指从总体中抽取的一部分个体,故本题中的样本是抽出的100名同学的年龄.答案:抽出的100名同学的年龄【知识探究】知识点1 简单随机抽样 观察图形,回答下列问题:问题1:被抽取的样本总体个数有何限定条件?问题2:简单随机抽样有何特点?【总结提升】简单随机抽样的四个特点(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限,这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析.(2)它是从总体中逐个抽取,这样便于在抽样实践中进行操作.(3)它是一种不放回抽样,由于抽样实践中多采用不放回抽样,使其具有较广泛的实用性,而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体,便于进行有关的分析和计算.(4)它是一种等机会抽样,不
5、仅每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽到的机会相等,而且在整个抽样的过程中,各个个体被抽取的机会也相等,从而保证了这种抽样方法的公平性.知识点2 抽签法与随机数法 观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:抽签法有何优点?问题2:在什么条件下可选用随机数法?【总结提升】1.抽签法与随机数法的优缺点 抽签法 随机数法 优点 简单易行,当总体的个体数不多时,使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易,这时,每个个体都有均等的机会被抽中,从而能够保证样本的代表性 操作简单易行,它很好地解决了当总体中的个体数较多时用抽签法制签难的问题,在总体容量不大的情况下是行之有效的 抽签法 随机数法 缺点 仅适用于个
6、体数较少的总体,当总体容量较大时,费时费力又不方便,况且,如果号签搅拌不均匀,可能导致抽样不公平 如果总体中的个体数很多,对个体编号的工作量太大,即使用随机数法操作也不方便快捷 2.利用随机数表法抽取个体时的注意事项(1)定起点:事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点.(2)定方向:读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以).(3)读数规则:读数时结合编号的特点进行读取,编号为两位数则两位两位地读取,编号为三位数则三位三位地读取,如果出现重复则跳过,直到取满所需的样本个体数.【题型探究】类型一 简单随机抽样的概念理解【典例】1.(2015临汾高一检测)下列问题中,最适合用简单随机抽样方法
7、抽样的是()A.某学术厅有32排座位,每排有40个座位,座位号是140,有一次报告会坐满了观众,报告会结束以后听取观众的意见,要留下32名观众进行座谈 B.从10台冰箱中抽取3台进行质量检验 C.某学校有在编人员160人,其中行政人员16人,教师112人,后勤人员32人.教育部门为了解大家对学校机构改革的意见,要从中抽取容量为20的样本 D.某乡农田有山地8000亩,丘陵12000亩,平地24000亩,洼地4000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量 2.下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.(2)盒子中共有80个零件,从中选出
8、5个零件进行质量检验,在进行操作时,从中任意抽出一个零件进行质量检验后把它放回盒子里.(3)某班45名同学,指定个子最高的5人参加某活动.(4)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检测.【解题探究】1.简单随机抽样具有哪些特点?提示:简单随机抽样的四个特点,即总体的个数有限;逐个抽取;不放回抽取;等可能抽样.2.典例2中判断是否是简单随机抽样的方法的关键是什么?提示:看它们是否符合简单随机抽样的特点.【解析】1.选B.简单随机抽样适合总体中的个体数较少,操作简便易行.2.(1)不是简单随机抽样,由于被抽取的样本的总体个数是无限的.(2)不是简单随机抽样,由于它是放回抽样.(3)不是简单随机抽样
9、,因为不是等可能性抽样.(4)不是简单随机抽样,因为不是逐个抽样.【方法技巧】简单随机抽样的判断方法 判断所给抽样是不是简单随机抽样,关键是看它们是否符合简单随机抽样的四个特点,即总体的个数有限;逐个抽取;不放回抽取;等可能抽样.【变式训练】(2015湖北高考)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 ()A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石【解析】选B.设这批米内夹谷x石,则由题意知,即 28x254153428x1534169.254类型二 抽签法的应用【典例
10、】1.(2015承德高一检测)上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员,采用下面两种选法,则是抽签法的是 .选法一:将这40名学生从140进行编号,相应地制作140的40个号签,把这40个号签放在一个暗箱中搅匀,最后随机地从中抽取1个号签,与这个号签编号一致的学生幸运入选;选法二:将39个白球与1个红球(球除颜色外,其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀,让40名学生逐一从中摸取一球,摸到红球的学生成为啦啦队成员.2.在社区公益活动中,某单位共有50名志愿者参与了报名,现要从中随机抽出6人参加一项活动,请用抽签法进行抽样,并写出过程.【解题探究】1.典例1中抽签法的适用范围是什么?
11、提示:抽签法的适用范围是总体数量较少,个体无差异.2.典例2中总体容量是多少?样本容量呢?提示:总体容量是50,样本容量是6.【解析】1.选法一满足抽签法的特征,是抽签法;选法二不是抽签 法,因为抽签法要求所有的号签编号互不相同,而选法二中39个白球 无法相互区分.这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都 相等,均为 1.40答案:选法一 2.第一步,将50名志愿者编号,号码为1,2,3,50.第二步,将号码分别写在大小、形状、质地都相同的纸条上,揉成团,制成号签.第三步,将所有号签放入一个不透明的箱子中,搅拌均匀.第四步,一次取出1个号签,连取6次(不放回抽取),并记录其编号.第五步,
12、将对应编号的志愿者选出即可.【方法技巧】抽签法的一般步骤【变式训练】某校高一年级有43名足球运动员,要从中抽出5人抽查学习负担情况.用抽签法设计一个抽样方案.【解题指南】根据抽签法的基本步骤求解.【解析】第一步:编号,把43名运动员编号为143;第二步:制签,做好大小、形状相同的号签,分别写上这43个数;第三步:搅拌,将这些号签放在暗箱中,进行均匀搅拌;第四步:抽签入样,每次从中抽取一个,连续抽取5次(不放回抽取),从而得到容量为5的入选样本.类型三 随机数法的应用【典例】1.(2015苏州高一检测)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率,从中抽取50颗种子进行实验,利用随机数表法抽取种子,先将
13、850颗种子按001,002,850进行编号,如果从随机数表第3行第6列 的 数 开 始 向 右 读,请 依 次 写 出 最 先 检 验 的 4 颗 种 子 的 编号 .(下面抽取了随机数表第1行至第8行)03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13
14、 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21
15、 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 2.现有一批零件,其编号为600,601,602,999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查,若用随机数表法,怎样设计方案?【解题探究】1.典例1中利用随机数表时如何读数?提示:为了保证选取数字的随机性,应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置,然后确定读数方向.2.典例2中的第一个数字如何选取?提示:在随机数表中任选一数字作为开始数字.【解析】1.从随机数表第3行第
16、6列的数2开始向右读,第一个小于850的数字是227,第二个数字是665,第三个数字是650,第四个数字是267,符合题意.答案:227,665,650,267 2.第一步,在随机数表中任选一数字作为开始数字,任选一方向作为读数方向.比如:选第7行第6个数“7”,向右读.第二步,从“7”开始向右每次读取三位,凡在600999中的数保留,否则跳过去不读,依次得753,724,688,770,721,763,676,630,785,916.第三步,以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象.(答案不唯一)【延伸探究】1.(变换条件)典例1中利用随机数表抽取样本,若从第4行第5列开始向右读,则最先检验
17、的4颗种子的编号为 ,.【解析】从第4行第5列向右开始读依次为:668,273,105,037.答案:668 273 105 037 2.(变换条件、改变问法)典例1中若将“850颗种子”改为“1850颗种子”,又如何编号?【解析】可将1850颗种子按0001,0002,1850进行编号.【方法技巧】随机数表法抽样的步骤(1)编号:这里的所谓编号,实际上是新编数字号码.(2)确定读数方向:为了保证选取数字的随机性,应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置,然后确定读数方向.(3)获取样本:读数在总体编号内的取出,而读数不在总体编号内的和已取出的不算,依次下去,直至得到容量为n的样本.【变式
18、训练】从30个足球中抽取10个进行质量检测,说明利用随机数表法抽取这个样本的步骤及公平性.【解析】第一步:首先将30个足球编号:00,01,02,29.第二步:在随机数表中随机地选一个数作为开始.第三步:从选定的数字向右读,得到二位数字,将它取出,把大于29的去掉,按照这种方法继续向右读,取出的二位数若与前面相同,则去掉,依次下去,就得到一个具有10个数据的样本.其公平性在于:第一,随机数表中每一个位置上出现哪一个数都是等可能的.第二,从30个个体中抽到哪一个个体的号码也是机会均等的.基于以上两点,利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是等可能的.【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)
19、若将“30个”改为“300个”,应如何编号?【解析】可将300个足球编号:000,001,002,299.2.(改变问法)若本题条件不变,给出如下所示的随机数表,则若从第4 行 第 5 列 开 始 向 右 读,则 最 先 抽 取 的 4 个 足 球 的 编 号为 ,.03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 5
20、6 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30【解析】可先将30个足球编号:00,01,02,29.从第4行第5列开始向右读依次为26,27,05,03.答案:26 27 05 03 易错案例 随机数法的应用【典例】(2015杭州
21、高一检测)某工厂的质检人员对生产的100件产品,采用随机数表法抽取10件进行检查,对100件产品采用下面的编号方法:1,2,3,100;001,002,003,100;00,01,02,03,99.其中最恰当的序号是 .【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:用随机数表法抽样时,如果所编号码的位数不相同,那么无法在随机数表中读数,因此,所编号码的位数要相同.【自我矫正】只有编号时数字位数相同,才能达到随机等可能抽样,所以不恰当.的编号位数相同,都可以采用随机数表法,但中号码是三位数,读数费时,所以最恰当.答案:【防范措施】把握好随机数表法抽样时的注意事项(1)编号要求位数相同.如典例中就违背了此要求.(2)第一个数字的抽取是随机的.(3)读数的方向是任意的,且事先定好.