1、导数的概念及运算建议用时：45分钟一、选择题1函数yln (2x21)的导数是()ABCDBy4x，故选B.2(2019成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x(其中e为自然对数的底数)，则f(e)()A1 B1Ce De1D由已知得f(x)2f(e)，令xe，可得f(e)2f(e)，则f(e).故选D.3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末 B1秒末和2秒末C4秒末 D2秒末和4秒末Ds(t)t26t8，由导数的定义可知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D
2、.4(2019贵阳模拟)曲线yx ln x在点(e，e)处的切线方程为()Ay2xe By2xeCy2xe Dyx1A对yx ln x求导可得yln x1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为ln e12，因此切线方程为ye2(xe)，即y2xe.故选A.5已知直线yax是曲线yln x的切线，则实数a()AB CDC设切点坐标为(x0，ln x0)，由yln x的导函数为y知切线方程为yln x0(xx0)，即yln x01.由题意可知解得a.故选C.二、填空题6.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_xy20根据导数的几何意义及图象可知，
3、曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2，0)，所以切线方程为xy20.7若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_(，0)由题意，可知f(x)3ax2，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0).8设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为_(1，1)或(1，1)由题意知，f(x)3x22ax，所以曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为f(x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且解得或所以当时，点P的坐标为(1，1)；当时，点P的坐
4、标为(1，1).三、解答题9已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40
5、或y20.10已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1，3)2，).1(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()
6、Ay2x ByxCy2x DyxD因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.2曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2 De2D易知曲线ye在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.ye，kee2，切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所求面积为S2|e2|e2.3若直线yk
7、xb是曲线yln x2的切线，也是曲线yex的切线，则b_0或1设直线ykxb与曲线yln x2的切点为(x1，y1)，与曲线yex的切点为(x2，y2)，yln x2的导数为y，yex的导数为yex，可得kex2.又由k，消去x2，可得(1ln x1)(x11)0，则x1或x11，则直线ykxb与曲线yln x2的切点为(，1)或(1，2)，与曲线yex的切点为(1，e)或(0，1)，所以ke或k1，则切线方程为yex或yx1，可得b0或1.4设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直
8、线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又因为f(x)a，所以解得所以f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0).令x0，得y，所以切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，所以切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0).所以曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.1定义1：若
9、函数f(x)在区间D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f(x)f(x).定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f(x)0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_(，)因为f(x)x3x21，所以f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)0得x，故x的取值范围是(，).2已知函数f(x)ax3bx2cx在x1处取得极值，且在x0处的切线的斜率为3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解(1)f(x)3ax22bxc，依题意又f(0)3，所以c3，所以a1，所以f(x)x33x.(2)设切点为(x0，x3x0)，因为f(x)3x23，所以f(x0)3x3，所以切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0).又切线过点A(2，m)，所以m(x3x0)(3x3)(2x0)，所以m2x6x6，令g(x)2x36x26，则g(x)6x212x6x(x2)，由g(x)0得x0或x2，g(x)极小值g(0)6，g(x)极大值g(2)2，画出草图知，当6m2时，g(x)2x36x26有三个解，所以m的取值范围是(6，2).
