1、课后素养落实(三十四)空间图形的表面积(建议用时：40分钟)一、选择题1下列有四个结论，其中正确的是()A各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C底面是正三角形的棱锥是正三棱锥D顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥DA不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；B缺少第一个条件；C缺少第二个条件；而D可推出以上两个条件，故正确2一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A B C DA设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h2r，所以表面积与侧面积的比为2(r2rh)2rh(rh
2、)h(21)23轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A4倍 B3倍 C倍 D2倍D设轴截面正三角形的边长为2a，所以S底a2，S侧a2a2a2，所以S侧2S底 故选D4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为()A44 B44C12D84A连接A1B因为AA1底面ABC，则AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CA1B30又AA1AC2，所以A1C2，BC又ABBC，则AB，则该三棱柱的侧面积为
3、222244，故选A5若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12 B1 C1 D2C设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lrS侧rlr2，S底r2，S底S侧1二、填空题6斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60，那么这个斜三棱柱的侧面积是_2020由题意可知S侧254sin 605420207一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为_4l，S侧(Rr)l2l232，l48已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为_S1S2斜高h，S1(3234
4、)9，S222425，S1S2三、解答题9圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45，求这个圆台的高、母线长和底面半径解法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm即AOx cm，AO3x cm(O，O分别为上、下底面圆心)，过A作AB的垂线，垂足为点D在RtAAD中，AAD45，ADAOAO2x cm，所以ADAD2x cm，又S轴截面(ABAB)AD(2x6x)2x392(cm2)，所以x7综上，圆台的高OO14 cm，母线长AAOO14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm法二：圆台的
5、轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA，BB交OO的延长线于点S(O，O分别为上、下底面圆心)在RtSOA中，ASO45，所以SOAO3x cm，又SOAOx cm，所以OO2x cm又S轴截面(2x6x)2x392(cm2)，所以x7综上，圆台的高OO14 cm，母线长AAOO14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm,21 cm10如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO和较小的棱锥PO(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱为12 cm，小棱锥底面边长为4 cm，求截得棱台的侧
6、面积和全面积解(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，S大棱锥侧c1h16a 3a ，S小棱锥侧c2h23a a ，S棱台侧(c1c2)(h1h2)(6a3a) a ，S大棱锥侧S小棱锥侧S棱台侧413(2)S侧(c1c2)(h1h2)144(cm2)，S上644sin 6024(cm2)，S下688sin 6096(cm2)，S全S侧S上S下144120(cm2)11水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品如图所示，现有棱长为2 cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为(单位：cm2)()A1
7、24 B164C123 D163A由图可知，截去的是正方体八个角的三棱锥，留下一个边长为的等边三角形截面，其余6个面为边长为的正方形，所以该饰品的表面积为：6()28()2124，故选A12(多选题)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，P是A1B上的一动点，则下列选项正确的是()ADP的最小值为BDP的最小值为CAPPC1的最小值为DAPPC1的最小值为AD求DP的最小值，即求DA1B底边A1B上的高，易知A1BA1D，BD，所以A1B边上的高为h ，连接A1C1，BC1(图略)，得A1BC1，以A1B所在直线为轴，将A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设
8、点C1的新位置为C，连接AC(图略)，则AC即为所求的最小值，易知AA12，A1C，cosAA1C，所以AC故选AD13如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，则四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成空间图形的表面积为_2412如图所示，过点C作CEAB交AB于点E，将四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周得到的空间图形是由直角梯形ADCE旋转得到的圆台与CBE旋转得到的圆锥拼接而成的组合体由已知条件计算可得CE4，AE2，BE3，BC5，S表AD2(CEAD)CDCEBC4(42)245241214一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的
9、底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1h2h_22由题意可把三棱锥A1ABC与四棱锥A1BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABCA1B1C1不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为而四棱锥A1BCC1B1的高为，则h1h2h2215一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值解(1)圆锥的母线长为2(cm)，所以圆锥的侧面积S1224(cm2)(2)该几何体的轴截面如图所示设圆柱的底面半径为r cm，则，所以r所以圆柱的侧面积S22rx(x26x)(x3)29(x3)26，所以当x3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6 cm2