1、第8章函数应用(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2021江苏赣榆高级中学高一阶段检测)函数f(x)=x+lg(x-1)-3的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.(2021江苏泰州口岸中学高一期中)函数f(x)=xx2-112的零点的个数是()A.1B.2C.3D.43.(2021山东潍坊高一期末)在一次数学试验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:x-2-1123y0.240.512.023.988.02在以下四个函数模型(a,
2、b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是()A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=a+logbxD.y=a+bx4.(2021江苏丹阳第五中学高一期中)设函数f(x)=sin x-log3x,g(x)=3x-log0.5x,h(x)=sin x-log0.5x的零点分别为a,b,c,则()A.acbB.cbaC.cabD.abc5.(2021江苏淮安清浦中学高一期中)2020年11月24日4时30分,长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射,飞行约2 200秒后,顺利将探月工程嫦娥五号探测器送入预定轨道,开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度v(单位:km/s)与燃
3、料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的函数关系为v=2ln1+Mm,若已知火箭的质量共为3 100 kg,火箭的最大速度为11 km/s,则火箭需要加注的燃料为(参考数值为ln 244.695.50,结果精确到0.01)()A.243.69 tB.244.69 tC.755.44 tD.890.23 t6.(2021安徽泗县第一中学高一开学考试)已知函数f(x)=|log3x|,03,若关于x的方程f(x)2+mf(x)+112=0有6个实数解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-33C.-1,-23D.-23,-337.(2021江苏连云港灌南高级中学高一期中)定
4、义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且x(0,2)时,f(x)=(x-1)2,则f(x)在区间0,2 021上的零点个数为()A.1 011B.1 010C.2 021D.2 0228.(2021江苏南通高一开学考试)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x0时,f(x)=|log2x|,02,则函数y=f(x)+1434的所有零点之和是()A.322B.32-42C.32-92D.0二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021江苏溧阳中学高一期末)已知函数f
5、(x)=mx-ln x+m在区间(1,e)内有唯一零点,则m的可能取值为()A.-ee2+1B.1e+1C.e-1e+1D.1+2e10.(2021山东济宁高一上期末)已知实数x1,x2为函数f(x)=12x-|log2(x-1)|的两个零点,则下列结论正确的是()A.(x1-2)(x2-2)(-,0)B.(x1-1)(x2-1)(0,1)C.(x1-1)(x2-1)=1D.(x1-1)(x2-1)(1,+)11.(2021广东珠海高一期末)已知函数f(x)=-x2-2x,x0,|log2x|,x0,若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1x2x3x4,则下列结论正确的是()A
6、.x1+x2=2B.x3x4=1C.0x1+x2+x3+x41D.0x1x2x3x4112.(2021浙江宁波高一开学考试)已知函数f(x)=ln(x+1),x0,x2-2ax+1,x0,其中实数aR,则下列关于x的方程f(x)2-(1+a) f(x)+a=0的实数根的情况,说法正确的有()A.a取任意实数时,方程最多有5个根B.当-1-52a0,g(x),x0是奇函数,则函数f(x)的零点是.15.(2021江苏盐城高一期末)已知函数f(x)=-x2-4x-2,x0,|log2x|,04,方程f(x)=m有6个不同的实数根x1、x2、x3、x4、x5、x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x
7、6的取值范围为.16.(2021江苏徐州高一期末)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且满足f(x)+g(x)=2x-x,则f(0)的值为;若函数h(x)=2|x-2 021|-f(x-2 021)-22有唯一零点,则实数的值为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021江苏东台中学高一月考)关于x的方程x2-2(m-1)x+m+11=0,当m分别在什么范围取值时,方程的两个实数根(1)都大于1?(2)都小于1?(3)一个大于1,一个小于1?18.(12分)(2021安徽芜湖高一期末)已知函数f(x)=x2-2
8、x+8x-5.(1)用定义证明f(x)在(0,2)内单调递减;(2)证明:f(x)在区间(0,+)上存在两个不同的零点x1,x2,且x1+x24.19.(12分)(2021江苏江都中学高一阶段测试)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c均为实数.(1)若0f(-1)=f(-2)=f(-3)3,求a+b+c的取值范围;(2)若函数g(x)=f(x)+1x存在零点且c=a,求a2-b的最小值.20.(12分)(2021江苏海头高级中学高一月考)2011年6月康菲公司由于机器故障,引起严重的石油泄漏,造成了海洋的巨大污染,某沿海渔场也受到污染.为降低污染,渔场迅速切断其与海水的联系
9、,并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂.已知每投放a(1a4,且aR)个单位的药剂,它在水中释放的浓度y(毫克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y=af(x),其中f(x)=168-x-1(0x4),5-12x(4x10),若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据资料表明,当水中药剂的浓度不低于4(毫克/升)时,它才能起到有效治污的作用,称为有效净化.当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时,称为最佳净化.(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?(2)若第一次投放2个单位的药剂,6天后
10、再投放a个单位的药剂,要使接下来的4天能够持续有效治污,试求a的最小值(精确到0.1,参考数据:21.4).21.(12分)(2021江苏宿豫中学高一月考)大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高,数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如Ai(ai,bi)(i=1,2,3,n)是平面直角坐标系上的一系列点,其中n是不小于2的正整数,用函数y=f(x)来拟合该组数据,尽可能使得函数图象与点Ai(ai,bi)比较接近.其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差,拟合误差越小越好,定义函数y=f(x)的拟合误差为f(x)=1nf(a1)-b12+f(a2)-b22+f(an
11、)-bn2.已知在平面直角坐标系上,有5个点的坐标数据如下表所示:x12345y2.2124.67(1)若用函数f1(x)=x2-4x+5来拟合上述表格中的数据,求f1(x);(2)若用函数f2(x)=2|x-2|+m来拟合上述表格中的数据,求该函数的拟合误差f2(x)的最小值,并求出此时的函数解析式y=f2(x);判断用f1(x),f2(x)中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好.22.(12分)(2021江苏镇江高一期末)已知函数f(x)=ag(x)+2xa4x(a为常数,且a0,aR).请在下面四个函数:g(x)=2x,g(x)=log2x,g(x)=x2,g(x)=8x中选择一个函数
12、作为g(x),使得f(x)具有奇偶性.(1)请选出g(x),并求a的值;(2)当f(x)为奇函数时,若对任意的x1,2,都有f(2x)mf(x),求实数m的取值范围;(3)当f(x)为偶函数时,请讨论关于x的方程f(2x)=mf(x)实数解的个数.答案第8章函数应用1.C因为函数f(x)为单调递增函数,其图象是连续不间断的,且f(2)=-10,所以零点所在的区间是(2,3).故选C.2.B令f(x)=xx2-1-12=0,则x2-2x-12(x2-1)=0,得x2-2x-1=0,x1,所以x=12,经检验x=12是方程f(x)=0的解,所以f(x)有两个零点.故选B.3.D根据题表中数据作出散
13、点图.当自变量增加到3时,y增加的很多,符合指数的增加特征,D正确.故选D.4.A设函数y1=sin x,y2=log3x,y3=log0.5x,y4=3x,则a是y1与y2图象交点的横坐标,b是y3与y4图象交点的横坐标,c是y1与y3图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出y1,y2,y3,y4的图象,如图所示.由图可知acb.故选A.5.C由题意得11=2ln1+M3 100,所以1+M3 100=e5.5,解得M=3 100(e5.5-1)3 100243.69=755 439(kg)755.44(t).故选C.6.D令t=f(x),则原方程可化为t2+mt+112=0,作出函数f
14、(x)的图象如图,由图象可知,若关于x的方程f(x)2+mf(x)+112=0有6个实数解,则关于t的方程t2+mt+112=0在0,12上有两个不等实根,则1120,=m2-130,14+12m+1120,-m20,12,解得m-23,-33.故选D.7.D因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),所以f(0)=0,f(x)是以4为周期的周期函数.当x(0,2)时,f(x)=(x-1)2,所以f(1)=0,因为f(-2+4)=f(-2)=-f(2),所以f(2)=0,f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=0,即f(3)=0,又f(0+4)=f(0)=0,所以f(0)=0,f
15、(1)=0,f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(n)=0,nZ,所以f(x)在区间0,2 021上有2 022个零点.故选D.8.C令f(x)+14-34=0,解得f(x)=12或f(x)=-1.当02时,f(x)=12x2-4x+7.若f(x)=12,则12x2-4x+7=12,解得x=43,若f(x)=-1,则12x2-4x+7=-1,所以x=4,因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,f(0)+14-340.当x0时,f(x)=12或f(x)=-1等价于f(-x)=-12或f(-x)=1.当-2x0时,0-x2,f(-x)=|log2(-x)|0,所以f(-x)
16、=-12无解.若f(-x)=1,则|log2(-x)|=1,解得x=-2或x=-12.当x2,f(-x)=12x2+4x+7,若f(-x)=1,则12x2+4x+7=1,解得x=-6或x=-2(舍去).若f(-x)=-12,则12x2+4x+7=-12,解得x=-3或x=-5.综上所述,所有零点之和为2-12+212+4-3+4+3+4-2-12-6-3-5=32-92.故选C.9.BC由题意得2mme-1+m0,解得m0,e e+1,结合选项知m的可能取值为1e+1,e-1e+1.故选BC.10.AB令f(x)=0,则12x=|log2(x-1)| ,分别作函数y=12x与y=|log2(x
17、-1)|的图象,如图所示:由图象知f(x)=0有两个实数解x1,x2,且1x12x2 ,所以(x1-2)(x2-2)(-,0)成立,故A正确;由于log2(x1-1)(x2-1)=log2(x1-1)+log2(x2-1)=-12x1+12x20,所以0(x1-1)(x2-1)0的图象如图所示,设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0t1,则函数y=f(x)的图象与直线y=t的4个交点横坐标分别为x1,x2,x3,x4.对于选项A,函数y=-x2-2x的图象关于直线x=-1对称,则x1+x2=-2,故选项A不正确;对于选项B,由图象可知|log2x3|=|log2x4|,且0
18、x31x4,-log2x3=log2x4,即log2(x3x4)=0,所以x3x4=1,故选项B正确;当x0时,f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+11,由图象可知,|log2x3|(0,1),则0-log2x31,可得12x31,x1+x2+x3+x4=x3+1x3-20,12,故选项C正确;由图象可知-2x1-1,x1x2x3x4=x1(-2-x1)=-x12-2x1(0,1),故选项D正确.故选BCD.12.CD由题意得f(x)-1f(x)-a=0,故f(x)=1或f(x)=a.当x0时,f(x)=ln(x+1)单调递增,当x1,则方程f(x)=a有2个根,若0a1,则方程f(x)=
19、a有1个根,故当a1时,原方程有3个根,当0a1时,原方程有2个根,当a=1时,原方程有1个根.(2)当a=-1时,函数f(x)图象如图.图当-1a0时,函数f(x)图象如图.图由图、图可知,当-1a0时,方程f(x)=1有2个根,方程f(x)=a没有根,故已知方程有2个根.(3)当a-1时,函数f(x)图象如图.方程f(x)=1有两个根.图由1-a2a,解得a-1-52.故当a-1-52时,1-a2a,方程f(x)=a有2个根,故原方程有4个根;当a=-1-52时,1-a2=a,方程有f(x)=a有1个根,故原方程有3个根;当-1-52aa,方程f(x)=a没有根,故原方程有2个根.综上可知
20、,a取任意实数时,方程最多有4个根,故选项A错误;当-1-52a1时,方程有3个根,故选项B错误;当a=-1-52时,方程有3个根,故选项C正确;当a-40时,令f(x)=2x-4=0,解得x=2,根据奇函数的对称性可知,x=-2也是函数f(x)的零点,故答案为2.15.答案14,654解析作出函数f(x)与函数y=m的图象如图所示.设x1x2x3x4x5x6,由图象可知,当0m2时,函数f(x)的图象与直线y=m有6个交点,点(x1,m)、(x2,m)关于直线x=-2对称,可得x1+x2=-4,点(x5,m)、(x6,m)关于直线x=8对称,可得x5+x6=16,由|log2x3|=|log
21、2x4|得-log2x3=log2x4,x3=1x4,x1+x2+x3+x4+x5+x6=x3+x4+12=1x4+x4+12,且1x4t2,则g(t1)-g(t2)=t1+1t1-t2+1t2=(t1-t2)+1t1-1t2=(t1-t2)+t2-t1t1t2=(t1-t2)(t1t2-1)t1t2,t1t21,t1-t20,t1t21,g(t1)g(t2),函数g(t)=t+1t在区间(1,+)上为增函数.1x41,f(1)0,(2分)即4(m-1)2-4(m+11)0,m-11,1-2(m-1)+m+110,解得5m14.(4分)(2)若方程的两个实数根都小于1,则0,m-10,(6分)
22、即4(m-1)2-4(m+11)0,m-10,解得m-2.(8分)(3)若方程的两个实数根一个大于1,一个小于1,则f(1)0,即1-2(m-1)+m+1114.(10分)18.证明(1)任取x1,x2(0,2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x12-2x1+8x1-5-x22-2x2+8x2-5=(x12-x22)-2(x1-x2)+8x1-8x2=(x1-x2)x1+x2-2-8x1x2.(2分)x1x2,x1-x20,又x1,x2(0,2),x1+x214,(4分)x1+x2-2-8x1x20,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(0,2)内单调递减.(6分)(2)易得函数f(
23、x)在(2,+)上单调递增.f43=169-83+1=190,f(2)=-10,f83=649-163-2=-290,(8分)f43f(2)0,f83f(4)43+83=4.(12分)19.解析(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c,f(-1)=f(-2)=f(-3),所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c,(2分)即-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,解得a=6,b=11,则f(x)=x3+6x2+11x+c,(4分)由0f(-1)3,得0-1+6-11+c3,即6c9,则23a+b+c26,故a+b+c的取值范围
24、为(23,26).(6分)(2)因为g(x)=f(x)+1x=x3+ax2+bx+c+1x存在零点,所以设g(x0)=0,显然x00,因为c=a,所以g(x0)=x03+ax02+bx0+a+1x0=0,所以b=-x02-ax0-ax0-1x02,(8分)所以a2-b=a2+x02+ax0+ax0+1x02=a2+x02+1x02+ax0+1x0=a2+x0+1x02+ax0+1x0-2,令x0+1x0=t,则t2或t-2,则a2-b=a2+t2+at-2=a+12t2+34t2-2(t2或t-2),(10分)易知a+12t20,34t2-21,所以a2-b1,故a2-b的最小值为1.(12分
25、)20.解析(1)a=4,y=4f(x)=648-x-4(0x4),20-2x(4x10),(2分)则当0x4时,648-x-44,解得x0,0x4;(3分)当4x10时,20-2x4,解得x8,4f2(x),解得-1+46125m461-125.令f1(x)=f2(x),解得m=-1+46125或m=461-125,令f1(x)f2(x),解得m461-125.(9分)故当-1+46125m461-125时,用f2(x)=2|x-2|+m来拟合题表中的数据更好;(9分)当m=-1+46125或m=461-125时,用f1(x),f2(x)拟合效果一样;当m461-125时,用f1(x)=x2
26、-4x+5来拟合题表中的数据更好.(12分)22.解析(1)若选,g(x)=2x,则f(x)=2ax+2xa4x,该函数的定义域为R,若函数f(x)为奇函数,则f(0)=1a0,不符合题意;若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=-2ax+2-xa4-x=4x(2-x-2ax)a=2x-2ax4xa,由f(-x)=f(x),可得2x-2ax4xa=2ax+2xa4x,化简可得2a=8x-2xx+x16x(x0),(1分)则a不为常数,不符合题意.若选,g(x)=log2x的定义域为(0,+),所以函数f(x)的定义域为(0,+),此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意.(2分)若选
27、,g(x)=x2,则f(x)=ax2+2xa4x,该函数的定义域为R.若函数f(x)为奇函数,则f(0)=1a0,不符合题意;若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=ax2+2-xa4-x=4x(ax2+2-x)a=2x+ax24xa,由f(-x)=f(x),可得2x+ax24xa=ax2+2xa4x,化简可得a=2x-8xx2(16x-1)=-2x(1-4x)x2(1-42x)=-2xx2(1+4x)(x0),则a不为常数,不符合题意.(3分)若选,g(x)=8x,则f(x)=a8x+2xa4x=2x+1a2-x,该函数的定义域为R,f(-x)=2-x+1a2x.若函数f(x)为奇函数,则f(
28、x)=-f(-x),即f(x)+f(-x)=1+1a(2x+2-x)=0,可得a=-1;若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),则f(x)-f(-x)=1-1a(2x-2-x)=0,可得a=1.(4分)综上,选g(x)=8x,a的值为1.(5分)(2)由(1)知当f(x)为奇函数时,f(x)=2x-2-x,若x1,2,则2x2,4,因为函数y1=2x在1,2上为增函数,函数y2=2-x在1,2上为减函数,所以函数f(x)=2x-2-x在1,2上为增函数,则f(x)32,154,若对于任意的x1,2,都有f(2x)mf(x),则mf(2x)f(x)min=22x-2-2x2x-2-xmi
29、n=(2x+2-x)min,(6分)设t=2x2,4,(t)=t+1t,任取t1,t22,4,且t1t2,则(t1)-(t2)=t1+1t1-t2+1t2=(t1-t2)+1t1-1t2=(t1-t2)+t2-t1t1t2=(t1-t2)(t1t2-1)t1t2,因为2t1t24,所以t1-t24,所以(t1)-(t2)0,即(t1)(t2),所以函数(t)在2,4上为增函数,所以(t)min=(2)=52,则m52.所以实数m的取值范围是-,52.(8分)(3)由(1)知当f(x)为偶函数时,f(x)=2x+2-x,则f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2,令s=2x+2-x,
30、则s22x2-x=2,当且仅当x=0时,等号成立,由f(2x)=mf(x)得(2x+2-x)2-2=m(2x+2-x),即s2-2=ms(s2),所以m=s-2s,设h(s)=s-2s,s2.易知h(s)=s-2s在2,+)上单调递增,所以h(s)1.若m1,则方程无实数解.若m1,则方程存在唯一实数解s02,+),(10分)任取x1,x20,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-(2x2+2-x2)=2x1-2x2+12x1-12x2=2x1-2x2+2x2-2x12x1+x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x1+x2,因为0x1x2,所以2x1-2x21,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)1时,s02,此时方程有两个实数解.(11分)下面证必要性:令h(x)=2x+2-x-s0,则该函数的定义域为R,因为h(-x)=2-x+2x-s0=h(x),所以h(x)为偶函数,易知h(x)在0,+)上单调递增,且其图象是连续不间断的,h(0)=2-s00,所以h(x)在(0,log2s0)上有一个零点,又因为函数h(x)是偶函数,所以函数h(x)在(-log2s0,0)上也有一个零点,所以当m1,s02时,原方程有两个实数解.(12分)
