1、数学一、选择题1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据补集与并集的定义与运算,即可求得.【详解】全集,集合则集合所以故选:A【点睛】本题考查了集合并集与补集的运算,属于基础题.2.是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若，则，故“”是“”的充分条件.若，则，推不出，故“”是“”的不必要条件.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，此类问题，一般可依据定义来判断，本题属于基础题.3.下
2、列四个函数中，在上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对选项逐一分析函数在上的单调性，由此选出正确选项.【详解】对于A选项，在上递减，不符合题意.对于B选项，上递减，在上递增，不符合题意.对于C选项，在上为增函数符合题意.对于D选项，在上递减，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题.4.已知函数，为的导函数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求幂函数和对数函数的导数，代入1即可得出结果.【详解】由可得，所以，故选：C【点睛】本题考查基本初等函数的求导运算和求导运算法则，考查数学运算能力，属于简单题目.5
3、.函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】经计算可得，根据零点存定理，即可得到结果【详解】因为，所以 根据零点存在定理可得函数的零点所在区间为. 故选：B【点睛】本题考查函数零点存在判定定理，属于基础题6.已知向量的夹角为，且，则（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的定义即可求解.【详解】因为向量的夹角为，且，所以，所以8，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积，属基础题.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中，则可得结论.【详
4、解】，.故选：C.【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】表示出任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再解关于的方程，解方程即可得到答案；【详解】由题意得：，故选：B.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，属于基础题.9.若的展开式中常数项为第9项，则的值为（ ）A. 7B. 8C. 9D
5、. 10【答案】D【解析】【分析】先求出展开式的通项公式，结合题意可得当时，的幂指数等于零，由此求得n的值.【详解】展开式的通项公式为：，展开式中的常数项是第9项，即当时，故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.10.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.【详解】，为奇函数，排除B，C；又，排除D；故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.二、填空题11.从5名高中生、4名初中生、3名小学生中各选一人
6、的不同选法共有_种.【答案】【解析】【分析】根据分步乘法原理，即可得到答案；【详解】根据分步乘法原理得：，故答案为：.【点睛】本题考查分步乘法原理，考查对概念的理解，属于基础题.12.命题“，”的否定是_.【答案】.【解析】【分析】含有量词的命题的否定形式：“”变“”， “”的否定为“”.【详解】含有量词的命题的否定形式：“”变“”， “”的否定为“”,所以， 故答案为：.【点睛】本题考查含有量词的命题的否定形式，考查逻辑推理能力，属于容易题目.13.曲线在点处的切线的倾斜角大小为_.【答案】.【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据斜率求出倾斜角即可得到答案.【详解】因为，所
7、以，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的倾斜角为。故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了直线的倾斜角，属于基础题.14.两位射击选手彼此独立地向同一目标射击一次，若甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则目标被击中的概率为_.【答案】【解析】【分析】先计算没有被击中的概率，再用1减去此概率即可得解.【详解】设甲射中目标为事件A，乙射中目标为事件B，目标被击中为事件C，则.故答案为：.【点睛】本题考查概率的计算，解题关键是先计算没有被击中的概率而后得出击中的概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.15.已知中，为边上的点，且，若，则_.【答案】【解析】【
8、分析】根据平行四边形法则和平面向量基本定理，对进行分解，即可得出答案.【详解】如图，过D做，则可得出，所以，由四边形法则可得，故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的平行四边形法则等基本知识，考查了逻辑推理能力、数形结合能力，属于一般题.三、解答题16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）函数在和上单调递增；在上单调递减.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，再利用导数的几何意义、点斜式直线方程，即可得到答案；（2）解导数不等式，即可得到单调区间；【详解】解：（1），所以又，所以故切线方.（2）当，则或；当，则.故函数和上单调递增，在
9、上单调递减.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于基础题.17.已知集合，.求的值及集合【答案】a=1；AB=0，1，2，3，7【解析】【分析】由AB3，7知，3，7既是集合A的元素，也是集合B的元素，从而建立关于a的方程，然后利用集合元素的特征检验即可【详解】由题意可知3,7A， 3,7B，A= a2+4a +2=7即a 2+4a5=0解得a =5或a =1当a=5时，A=2,3,7，B=0,7,7,3不合题意，舍去当a=1时，A=2,3,7，B=0,7,1,3 AB=0，1，2，3，7【点睛】本题考查集合间相互关系，解题时要熟练掌握基本概念注意集合
10、元素的互异性，属于基础题18.已知.（1）求的值；（2）求展开式中项的系数.【答案】（1）；（2）240.【解析】【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出系数为，即可得到答案；【详解】解：（1）因为所以即所以（2）由（1）得中，所以中，所以，所以，所以系数为.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.19.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发
11、成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)详见解析【解析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对
12、应的利润成绩之和即可得到数学期望.(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:;所以的分布列如下: 则数学期望.考点：分布列 数学期望 概率20.已知函数，.（1）设为的导函数，求的值；（2）若不等式对恒成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则求得导函数的解析表达式，然后将代入即得；（2）分离参数后，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得相应最值，然后根据不等式恒成立的意义得到的最小值.【详解】解：（1）函数，所以，所以（2），即，化简可得令，则，因为，所以，所以，在上单调递减，所以的最小值为.【点睛】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和最值，求含参数不等式恒成立问题中的参数的最值问题，属中档题，难度较大.
