1、专题强化练3利用基本不等式求最值(取值范围)一、选择题1.(2020江苏苏州高一期中,)已知函数y=x+3x+7x+2(x-2),则()A.y有最小值-1B.y有最大值-1C.y有最小值3D.y有最大值32.(2020江苏海安曲塘高级中学高一月考,)已知正实数x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为()A.1B.3C.6D.93.(多选)(2020江苏盐城射阳中学高一期中,)若a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是()A.ab1B.a+b2C.a2+b22D.1a+1b24.(多选)(2020江苏宜兴中学高一月考,)下列不等式正确的是
2、()A.若x0,则x+1x-2B.若xR,则x2+3x2+22C.若xR,则1x2+10,则(1+x)1+1x45.(多选)(2020江苏苏州实验中学高一月考,)已知x+y=1,y0,x0,则12|x|+|x|y+1的值可能是()A.12B.14C.34D.546.(2020江苏南京第九中学高一月考,)已知m0,xy0,当x+y=2时,不等式4x+my92恒成立,则实数m的取值范围是()A.12,+B.1,+)C.(0,1D.0,12二、填空题7.(2020江苏吴江汾湖高级中学高一月考,)若一块矩形场地的面积为100 m2,则该场地的一条对角线的长度的最小值为m.8.(2020江苏泰州中学高一
3、期中,)已知不等式(x+y)1x+ay16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.9.(2020江苏如皋中学高一期中,)已知x,yR,x2-xy+9y2=1,则x+3y的最大值为.三、解答题10.()已知9x2+y2+4xy=10.(1)分别求xy和3x+y的最大值;(2)求9x2+y2的最小值和最大值.11.()为了美化校园环境,学校打算在广场上建造一个矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花坛,每个花坛的面积均为294平方米,花坛四周的过道宽度均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x米,宽为y米,整个矩形花园的面积为S平方米.(1)试用x,y表示S;(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多
4、少米时,新建矩形花园占地最少?最少为多少平方米?答案全解全析专题强化练3利用基本不等式求最值(取值范围)一、选择题1.Cx-2,x+20,y=x+3(x+2)+1x+2=(x+2)+1x+2+12+1=3,当且仅当x+2=1x+2,即x=-1(x=-3舍去)时取等号,y有最小值3.2.B因为正实数x,y,a满足2x+y=axy,所以2y+1x=a,所以x+2y=1a(x+2y)2y+1x=1a5+2xy+2yx1a5+22xy2yx=9a,当且仅当2xy=2yx,且2y+1x=a时取等号.由题意可得9a=3,解得a=3.故选B.3.ACD对于A,由2=a+b2ab得ab1,当且仅当a=b=1时
5、取等号,故A正确;对于B,当a=1,b=1时,不等式不成立,故B错误;对于C,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2,故C正确;对于D,1a+1b=a+bab=2ab2,故D正确.故选ACD.4.AD对于选项A,因为x0,所以-x+-1x2,所以x+1x-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故A正确;对于选项B,x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2,设x2+2=t(t2),则x2+3x2+2=t+1t,易得t=2时,t+1t取得最小值,最小值为2+22,故B错误;对于选项C,当x=0时,1x2+1=1,故C错误;对于选项D,因为x0,所以(1+x)1+1x=2+x
6、+1x4,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选AD.5.CD由x+y=1,y0,x0,得y=1-x0,则x1且x0.当0x1时,12|x|+|x|y+1=12x+x2-x=x+2-x4x+x2-x=14+2-x4x+x2-x14+22-x4xx2-x=54,当且仅当2-x4x=x2-x,即x=23(x=-2舍去)时取等号.当x0,且x+y=2,x0,y0,4x+my=124x+my(x+y)=124+m+4yx+mxy124+m+24yxmxy=12(4+m+24m),当且仅当4yx=mxy,即mx=2y时,等号成立.不等式4x+my92恒成立,12(4+m+24m)92,化简得m+4m
7、-50,解得m1(m-5舍去),即m1,实数m的取值范围是1,+).二、填空题7.答案102解析设矩形场地的长与宽分别为x m,y m,则根据题意得xy=100,该场地的一条对角线的长度为x2+y2 m.易得x2+y22xy=200,当且仅当x=y=10时,等号成立,所以x2+y2102,故该场地的一条对角线的长度的最小值为102 m.8.答案9解析因为(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy1+a+2yxaxy=1+a+2a,当且仅当yx=axy,x0,y0时取等号,所以1+a+2a16,整理得(a+5)(a-3)0,解得a9,故a的最小值为9.9.答案2155解析x2-xy+9y2=1,
8、x2+9y2=1+xy2x29y2=6xy,xy15,当且仅当x=3y,即x=155,y=1515或x=155,y=-1515时,等号成立.(x+3y)2=x2+6xy+9y2=1+7xy1+715=125,当且仅当x=155,y=1515或x=155,y=-1515时,等号成立.-2155x+3y2155,当且仅当x=155,y=1515或x=155,y=-1515时,等号成立.x+3y的最大值为2155.三、解答题10.解析(1)10=9x2+y2+4xy23xy+4xy=10xy,当且仅当3x=y,即x=33,y=3或x=33,y=-3时,等号成立,xy1,xy的最大值为1.9x2+y2
9、+4xy=(3x+y)2-2xy=10,(3x+y)2=10+2xy12,当且仅当x=33,y=3或x=33,y=-3时,等号成立,-233x+y23,当且仅当x=33,y=3或x=33,y=-3时,等号成立,3x+y的最大值为23.(2)由(1)知xy1,当且仅当x=33,y=3或x=33,y=-3时,等号成立.9x2+y2+4xy=10,9x2+y2=10-4xy10-4=6,当且仅当x=33,y=3或x=33,y=-3时,等号成立,9x2+y2的最小值为6.9x2+y2-23xy=-6xy,当且仅当y=-3x,即x=33,y=-3或x=33,y=3时,等号成立,xy-9x2+y26.9x2+y2+4xy=10,10-(9x2+y2)49x2+y26,即9x2+y230,9x2+y2的最大值为30.11.解析(1)由题意得S=(x+4)(3y+8)=3xy+12y+8x+32.(2)由题知x0,xy=294,所以S=3294+12294x+8x+32=914+8441x+x914+16441xx=1 250,当且仅当441x=x,即x=21时,等号成立.故当矩形花坛的长为21米时,新建矩形花园占地最少,最少为1 250平方米.
