1、试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估20152016学年第二学期统一检测题高二数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将考生号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使
2、用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.参考公式：线性回归方程中系数计算公式：，其中，表示样本均值.列联表随机变量. 与k对应值表：0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）从装有3个红球2个白球的袋中任取3个球，则所取3个球中至少有1个白球的概率是（A） （B） （C） （D）（3）定积
3、分的值为（A） （B） （C） （D）（4）已知是的充分不必要条件，则是的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也必要条件（5）已知随机变量服从正态分布, 且, 则（A） （B） （C） （D）（6）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大值和极小值（D）函数有极大值和极小值（7）如果复数的实部和虚部相等，则等于（A） （B） （C） （D）（8）将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种 （B）18种
4、（C）24种 （D）36种（9）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110则下列结论正确的是（A）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”（B）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”（D）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”（10）下列四个结论正确的是若是真命题，则可能是真命题；命题“”的否定是“”；“且”是“”的充要条件；当时，幂函数在区间上单调递减.（A） （B） （C） （D）（1
5、1）在的展开式中，的系数为（A）10 （B）20 （C）30 （D）60（12）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）若的展开式中，的系数为15，则= .（14）6粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑2粒，每粒种子发芽的概率为，如果一个坑内至少有1粒种子发芽，那么这个坑不需要补种，则3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率为 （用数字作答）. （15）已知函数，直线与曲线相切，则 . （16）某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据， 求出关于的线性
6、回归方程为， 则表中的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求和在直角坐标系下的普通方程；（）已知直线和曲线交于两点，求弦中点的极坐标.（18）（本小题满分12分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格（元/kg）1015202530日需求量（kg）1110865（）求关于的线性回归方程；（）当价格元/kg时，日需求量的预测值为多少？（19）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品混放在
7、一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.（20）（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，已知，设的中点为，（）证明：平面；（）证明：.（21）（本小题满分12分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.（）求的值及函数的极值；（）证明：当时，.（22）（本小题满分12分）设函数，其中是的导函数（）若恒
8、成立，求实数的取值范围；（）设，证明：20152016学年第二学期统一检测题高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案BDCABDAAADCC二、填空题（13） （14） （15）0 （16）50 三、解答题（17）（本小题满分10分）解：（）由得 ，得 ，所以的普通方程为. （3分）因为，所以的普通方程为. （5分）（）由得 （7分），弦中点的横坐标为，代入得纵坐标为， （9分）弦中点的极坐标为： （10分）（18）（本小题满分12分）解: (), （1分）, （2分）, （3分）.（4分）. （6分）. （8分）所求线性回归方程为. （9分）()由(
9、)知当时, . （11分）故当价格元/ kg时，日需求量的预测值为kg. （12分）（19）（本小题满分12分）解：()记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则. （4分）()X的可能取值为200,300,400. （5分）， （6分）， （7分）， （8分）（）故X的分布列为 （9分）200300400 . （12分）（20）（本小题满分12分）证明：（）依题意知是的中点，又因为是的中点，所以是的中位线，所以. （2分）又因为， （3分）所以平面. （5分）（）在直三棱柱中，所以. （6分）又因为，所以. （7分）又因为，所以. （8分）因为，所以矩形是正方形，所以. （
10、9分）因为，所以. （11分）又因为，所以. （12分）（21）（本小题满分12分）解：（）由，得. （1分）又，得. （2分），令，得. （3分）当时，所以在上单调递减；当时，所以在是单调递增； （4分）当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. （6分）（）令，则. （8分）由（）得， （10分）故在上单调递增，又， （11分）当时，即. （12分）（22）（本小题满分12分）解：（）因为，所以（） （1分）已知恒成立，即恒成立设（），则. （2分）当时，（仅当，时等号成立），在上单调递增，又，在上恒成立. （3分）即时，恒成立（仅当时等号成立）. （4分）当时，对恒有，在上单调递减， （5分）即时，存在，使，故知不恒成立. （6分）综上可知，的取值范围是 （7分）（）证法一：在（）中取，可得， （8分）令，则 （9分）下面用数学归纳法证明：当时，结论成立 （10分）假设当时结论成立，即那么当时，即结论成立 （11分）由可知，结论对成立 （12分）证法二 ：在（）中取，可得， （8分）令，则 （9分）故有， （11分）上述各式相加可得，结论得证 （12分）Onxy123证法三：如图，是由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，结论得证
