1、31.2 用二分法求方程的近似解基础认知自主学习导思(1)二分法的定义是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？(2)利用二分法求方程的近似解时，函数零点所在的区间应满足什么条件？如何根据精确度确定符合要求的近似值？1二分法的概念对于在区间上_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法连续不断且f(a)f(b)0是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点2用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分
2、法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证_，给定精确度.(2)求区间(a，b)的中点c.f(a)f(b)0(3)计算f(c)：若_，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b).(4)判断是否达到精确度：即若_，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)(4).f(c)0|ab|零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？提示：不是，区间的端点可以，区间的中点也可以，实际上区间上的任意一个值都可以1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)求函数f(x)(x1)2的零点近似值可以用二分法()提
3、示：函数需满足在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0，才能用二分法求零点(2)用二分法求出的函数零点就是精确值()提示：用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值(3)用“二分法”求近似解时，精确度越大，零点的精确度越高()提示：精确度越大，零点的精确度越低2函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的零点中，能用二分法求近似值的个数为()A.0 B1 C2 D3【解析】选D.函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则可以用二分法求出零点根据图象得函数f(x)有3个零点，可以用二分法求得近似解3用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(
4、)A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001【解析】选B.根据二分法的步骤知当区间长度|ab|小于精确度时，便可结束计算能力形成合作探究类型一 二分法概念理解(数学抽象、直观想象)1用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1 Bx2 Cx3 Dx42用二分法求函数yf(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度为0.1，最少需将区间等分_次【解析】1.选C.二分法求函数f(x)的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而图中函数在零点x3的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出2开区间(2，4)的长度等于2，每经过一次操
5、作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n1，因为用二分法求函数yf(x)在区间(2，4)上的近似解，要求精确度为0.1，所以 12n1 0.1，又nN*，所以n5.答案：5运用二分法求函数的零点应具备的两个条件(1)函数图象在零点附近连续不断(2)在该零点左右函数值异号只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点【补偿训练】1.下列函数中，不能用二分法求零点的是()【解析】选D.由函数图象可得，D中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；A，B，C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点2下列函数中不能用二分法求零点的是()Af(x)2x3
6、Bf(x)ln x6Cf(x)x22x1 Df(x)2x1【解析】选C.A，B，D三个函数中，都存在x0a，b，使f(a)f(b)0，只有C中f(x)0，因此函数f(x)x22x1不能用二分法求零点类型二 用二分法求方程的近似解(数学运算、逻辑推理)角度1 确定方程近似解所在的区间【典例】若x0是方程ln xx30的实数解，则x0属于区间()A(1，1.5)B(1.5，2)C(2，2.5)D(2.5，3)【思路导引】转化为判断相应函数的零点所在的区间【解析】选C.因为方程ln xx30，所以设对应函数f(x)ln xx3，因为f(2)ln 223ln 210，f(2.5)ln 2.52.53l
7、n 2.50.50，所以根据函数的零点的存在性定理可知在区间(2，2.5)内函数存在零点，即x0属于区间(2，2.5).将典例改为设f(x)lg xx3，用二分法求方程lg xx30在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，则方程的根所在区间为()A(2，2.25)B(2.25，2.5)C(2.5，2.75)D(2.75，3)【解析】选C.因为f(2.5)0，f(2.75)0，由零点存在性定理知，方程的根所在区间为(2.5，2.75).角度2 确定方程的近似解【典例】某同学求函数f(x)ln x2x6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
8、x232.52.752.6252.562 5f(x)的近似值-1.306 91.098 6-0.0840.5120.2150.066则方程ln x62x的近似解(精确度0.1)可取为()A2.52 B2.625 C2.66 D2.75 【思路导引】根据精确度确定有解区间再取近似解【解析】选A.根据题意，方程ln x62x对应的函数即为f(x)ln x2x6，由表格可知，函数的零点在(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)(2.5，2.562 5)内，因此方程的近似解在区间(2.5，2.562 5)，据此分析选项A中2.52符合题意用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函
9、数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)f(x)g(x)零点近似值的步骤求解2用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时，令f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到数据如表：x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.360 40.998 9由表中的数据，求方程ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为0.1).【解析】因为f(
10、1.25)f(1.375)0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 50，f(2)0，且函数f(x)x33x29x1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间2，1内有零点，用二分法逐步计算，列表：由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.937 5.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成).(2)
11、取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是m，c还是c，n，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值求函数f(x)x32x23x6的正数零点(精确度为0.1)【解析】确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)f(n)0.因为f(0)60，f(1)60，所以可以取区间(1，2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表为：由于|1.751.687 5|0.062 50，f(2)20，可得方程的根落在区间32，2内4(教材习题改编)用二分法求函数f(x)5x7x2的一个零点，其参考数据如下：x0.031 25 0.062 50.093
12、75 0.1250.156 25 0.187 50.218 75 0.25f(x)的近似值-0.729 7-0.456 7-0.180 90.097 80.379 70.664 70.953 31.245 3根据上述数据，可得f(x)5x7x2的一个零点近似值(精确度0.05)为_【解析】由参考数据知f(0.093 75)0.180 90，即f(0.093 75)f(0.125)0且0.1250.093 750.031 250.05.所以f(x)5x7x2的一个零点的近似值可取为0.125.答案：0.125(不唯一)5某同学在借助题设给出的数据求方程lg x2x的近似解(精确度0.1)时，设f(x)lg xx2，得出f(1)0，且f(2)0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为_【解析】先判断零点所在的区间为(1，2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5，2)，故取的第二个值为(1.52)21.75.答案：1.75
