1、二十利用导数研究函数的零点问题(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1函数f(x)x3x2x1的零点个数为()A0B1 C2D3B解析：因为f(x)x22x1(x1)20，所以f(x)在R上单调递增因为f(0)10，f(3)20，所以f(x)在R上有且只有一个零点2设函数f(x)xln x(x0)，则f(x)()A在区间，(1，e)上均有零点B在区间，(1，e)上均无零点C在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点D在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点D解析：因为f(x)，所以当x(0,3)时，f(x)0，f(x)单调递减而01e3，又f 10，f(1)0，f(e)10，所以f(x)在区间上
2、无零点，在区间(1，e)上有零点3方程ln x20的根的个数为()A0B1 C2D3C解析：令f(x)ln x2，则由f(x)0，得x4.当0x4时，f(x)4时，f(x)0，所以x4是f(x)的唯一极小值点，且f(4)0，f(e4)e260，所以f(x)在(e2,4)，(4，e4)上各有一个零点所以对应的方程有2个根故选C.4已知函数f(x)ln x1有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是()A(，01 B0,1C(，02 D0,2A解析：因为函数f(x)ln x1，所以f(x)，x0.当a0时，f(x)0恒成立，f(x)是增函数，x时，f(x)，f(1)a10，函数f(x)ln x1有且仅
3、有一个零点当a0时，令f(x)0，解得xa；令f(x)0，解得xa.故f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增故只需f(x)minf(a)ln a0，解得a1，综上，实数a的取值范围是(，015已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_. (，2ln 22解析：f(x)ex2，令f(x)0，解得xln 2，所以当x(，ln 2)时，f(x)0，则f(x)在区间(ln 2，)上单调递增所以当xln 2时，f(x)ex2xa取得最小值，为eln 22ln 2a22ln 2a.由题意，得22ln 2a0，解得a2ln 22.6若函数f(x)1(a0)没有零点，则实数a的取值范围
4、是_(e2,0)解析：f(x)(a0)当x2时，f(x)2时，f(x)0.所以，当x2时，f(x)有极小值f(2)1.若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)10，解得ae2，因此e2a0.7函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)的导函数的图像如图所示(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)有三个零点，求c的取值范围解：(1)因为f(x)x3ax2bxc，所以f(x)x22axb.由题图知f(x)0的两个根为1,2，所以解得a，b2.由导函数的图像可知，当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，故函数f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1,2)上单
5、调递减(2)由(1)得f(x)x3x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c0时，令f(x)0，得x；令f(x)0，得x0，得x.所以f(x)在上单调递减，在，上单调递增(2)由(1)知，f(x)有三个零点，则k0，且即解得0k.当0k，且f()k20，所以f(x)在上有唯一一个零点同理k1，f(k1)k3(k1)20，所以f(x)在上有唯一一个零点又f(x)在上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点，综上可知k的取值范围为.B组新高考培优练9(多选题)已知函
6、数f(x)ln xmx，若有两个相异正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)(x1x2)，则()A0x11Bx2eC0mDx2x1的值随m的增大而变小BCD解析：由f(x)ln xmx0，得ln xmx，即m(x0)令g(x)，则g(x)，所以当x(0，e)时，g(x)0，当x(e，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减所以当xe时，g(x)取最大值为g(e).又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0.作出函数g(x)的图像如图：由图可知，x2e,0m，x2x1的值随m的增大而变小10(多选题)已知函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零
7、点为b，则下列不等式中成立的是()Aealn b2Bealn b2Ca2b23Dab1CD解析：由f(x)0，g(x)0得ex2x，ln x2x，函数yex与yln x互为反函数在同一坐标系中分别作出函数yex，yln x，y2x的图像，如图所示，则A(a，ea)，B(b，ln b)由反函数性质知A，B关于(1,1)对称，则ab2，ealn b2，ab1，所以A，B错误，D正确因为f(x)ex10.所以f(x)在R上单调递增，且f(0)10，f 0，所以0a.因为点A(a，ea)在直线y2x上，即ea2ab，所以a2b2a2e2ae3.C正确11已知函数f(x)exax有两个零点x1，x2.下
8、列判断：a1；有极小值点x0，且x1x20，函数单调递增，所以函数f(x)至多有一个零点，不符合题意当a0，xln a时，f(x)0，函数单调递增，xln a时，f(x)0，函数单调递减，故函数的最小值为f(ln a)，要满足函数有两个零点，则必有f(ln a)aaln aa(1ln a)e，故判断不正确对于，因为e x1ax10，e x2ax20，所以x1x2ln(a2x1x2)2ln aln(x1x2)2ln(x1x2)取a，f(2)0，所以x22，f(0)10，所以0x12，故判断不正确对于，构造函数F(x1)f(x1)f(2ln ax1)F(x1)e x1ae2ln ax1ae x12
9、a22a0，所以函数F(x1)在(0，x0)上单调递增，故F(x1)F(x0)0f(x1)f(2ln ax1)0f(x1)f(2ln ax1)，而f(x1)f(x2)，所以x22ln ax1x1x22ln a，故判断正确对于，因为x1x22ln aln(x1x2)，而x1x22ln a，所以有x1x21，故判断不正确故正确的个数为1.12设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)2x1.令f(x)0，得x(负值舍去)，当0x时，f(x)0；当x
10、时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)令f(x)x2axln x0，得ax.令g(x)x，其中x，则g(x)1，令g(x)0，得x1.当x1时，g(x)0；当1x3时，g(x)0，所以g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3，所以g(x)ming(1)1，所以函数f(x)在上有两个零点，g3ln 3，g(3)3，3ln 33，所以实数a的取值范围是.13设函数f(x)ln xa(x1)ex，其中aR.(1)若a0，确定f(x)的单调性(2)若0ax0，证明：3x0x12.(1)解：由已知，f(x)的定义域为(0，)，且f(x)aexa(x1)ex.因此当a
11、0时，1ax2ex0，从而f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增(2)证明：由(1)知f(x).令g(x)1ax2ex，由0a，显然有g(x)0，且g1a2120，故g(x)0在(0，)内有唯一解，从而f(x)0在(0，)内有唯一解不妨设为x0，则1x00，所以f(x)在(0，x0)内单调递增当x(x0，)时，f(x)1时，h(x)11时，h(x)h(1)0，所以ln xx1.从而f lnaelnln 1hf(1)0，所以f(x)在(x0，)内有唯一零点又f(x)在(0，x0)内有唯一零点1，从而f(x)在(0，)内恰有两个零点由题意知即从而ln x1e x1x0，即e x1x0.因为当x1时，ln xx01，故e x1x0x.两边取自然对数，得ln e x1x0ln x，于是x1x02ln x02.