1、2015-2016学年江苏省南通市如皋市石庄中学高三（上）暑期检测数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上1已知集合M0，1，2，3，4，M0，1，2=0，1的集合M的个数是_2抛物线y=4x2的准线方程是_3已知直线l：mxy=4，若直线l与直线x+m（m1）y=2垂直，则m的值为_4函数y=|x1|+|x+4|的值域为_5a3”是“x1，2，x2a0”为真命题的_条件（ 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”中选择填空）6设f（x）为偶函数，对于任意的x0的数，都有f（2+x）=2f（2x），已知f（1）=4
2、，那么f（3）=_7已知实数x，y满足，则当2xy取得最小值时，x2+y2的值为_8过原点O作圆x2+y26x8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_9圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线2axby+2=0对称（a，bR），则ab的最大值是_10设 P点在圆x2+（y2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是_11求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2类比上述解题思路，方程的解为_12以知f（x）是定义在区间1，1上的奇函数，当x0时，f（x）=x（x1），则关于m的不等式f（1
3、m）+f（1m2）0的解集为_13已知O：x2+y2=1若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_14若正实数a，b，c满足3a2+10ab8b2=c2，且ab，若不等式5a+6bkc恒成立，则实数k的最大值为_二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知a0且a1，设命题p：函数在x（0，+）内单调递减，命q：曲线y=x2+（2a3）x+1与x轴交于不同的两点，若“p且q”为真命题，求a的取值范围16（14分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a0）（）讨论f（x）的
4、单调性；（）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2=0和圆C1：x2+y2+8x+F=0若直线l被圆C1截得的弦长为2（1）求圆C1的方程；（2）设圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论18（16分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实
5、际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？19（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值20（16分）已知函数f（x
6、）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值；（）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，试求a的取值范围2015-2016学年江苏省南通市如皋市石庄中学高三（上）暑期检测数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上1已知集合M0，1，2，3，4，M0，1，2=0，1的集合M的个数是4【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可【解答】解：M0，1，2，3，4，M0，1，2=0，
7、1，M=0，1或0，1，2，3或0，1，3或0，1，4共4个，故答案为：4【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2抛物线y=4x2的准线方程是【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】化抛物线的方程为标准方程，可得p值，结合抛物线的开口方向可得方程【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线准线方程的求解，属基础题3已知直线l：mxy=4，若直线l与直线x+m（m1）y=2垂直，则m的值为0，2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关
8、系 【专题】直线与圆【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此m=0满足条件；当m=1时，两条直线分别化为：xy=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此m=1不满足条件；当m0，1时，两条直线分别化为：y=mx4，y=x+，若两条直线垂直，则=1，解得m=2综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直故答案为：0，2【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题4函数y=|x1|+|x+4|的值域为5，+）【考点】函数的值域 【专题】函数的性质及应用【分析
9、】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域【解答】解：；x4时，y=2x35；4x1时，y=5；x1时，x5；该函数的值域为5，+）故答案为：5，+）【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性5a3”是“x1，2，x2a0”为真命题的必要不充分条件（ 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”中选择填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：若“任意x1，2，x2a0”为真命题，则等价为“任意x1，2，x2a”为真命
10、题，则a4，则a3”是“a4”的必要不充分条件，故选：必要不充分【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础6设f（x）为偶函数，对于任意的x0的数，都有f（2+x）=2f（2x），已知f（1）=4，那么f（3）=8【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质；函数的值 【专题】计算题【分析】由题意可得，f（1）=4，令x=1，可求得f（3）的值，f（x）为偶函数，从而可得f（3）的值【解答】解：对于任意的x0的数，都有f（2+x）=2f（2x），令x=1得：f（3）=2f（1）f（x）为偶函数，f（1）=4，f（3）=f（3）=2f（1）=2f（1）=（2）4=8故答案为：8【点评】
11、本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性，考查赋值法，属于中档题7已知实数x，y满足，则当2xy取得最小值时，x2+y2的值为5【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】先画出满足条件的平面区域，求出2xy取得最小值时A点的坐标，将A点的坐标代入x2+y2，求出即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图，令z=2xy，则当直线z=2xy经过直线xy+1=0和直线x+y3=0的交点A时，z取得最小值此时A的坐标为（1，2），x2+y2=5，故答案为：5【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，求出2xy取得最小值时的x，y的值是解题的关键，本题是一道中档题8过原点
12、O作圆x2+y26x8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为4【考点】直线和圆的方程的应用 【专题】压轴题；数形结合【分析】如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos，二倍角公式求出cosPO1Q，三角形PO1Q中，用余弦定理求出|PQ|【解答】解：圆x2+y26x8y+20=0 可化为 （x3）2+（y4）2 =5，圆心（3，4）到原点的距离为5故cos=，cosPO1Q=2cos21=，|PQ|2=（）2+（）2+2（）2=16|PQ|=4故答案为：4【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长9圆x2+y2+2x
13、4y+1=0关于直线2axby+2=0对称（a，bR），则ab的最大值是【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式 【专题】直线与圆【分析】由题意知，直线2axby+2=0经过圆的圆心（1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值【解答】解：由题意可得，直线2axby+2=0经过圆x2+y2+2x4y+1=0的圆心（1，2），故有2a2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b2，求得 ab，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题10设 P点在圆x2+（y2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的
14、最大值是1+【考点】椭圆的简单性质 【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9点Q到圆心（0，2）的距离为d=，故当y=时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+故答案为：1+【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题11求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2类比上述解题思路，方程的解为1或
15、1【考点】类比推理 【专题】计算题；推理和证明【分析】类比求求“方程3x+4x=5x的解”的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=，解之即得方程的解【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f（x）=3x2+10，则f（x）在R上单调递增，x=，解之得，x=1或1故答案为：1或1【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题12以知f（x）是定义在区间1，1上的奇函数，当x0时，f（x）=x（x1），则关于m的不等式f（1m）+f（1m2）0的解集为0，1）【考点】奇偶性与单调性的综合 【
16、专题】函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可【解答】解：由题意，奇函数f（x）是定义在1，1上的减函数，不等式f（1m）+f（1m2）0，即f（1m）f（m21），则，即，解得0m1，即m0，1）故答案为：0，1）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键13已知O：x2+y2=1若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（，11，+）【考点】圆的切线方程 【专题】直线与圆【分析】设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线y=kx+2的距离d，进行求解
17、即可得k的范围【解答】解：圆心为O（0，0），半径R=1设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO=R=，圆心O到直线y=kx+2的距离d，即，即1+k22，解得k1或k1，故答案为：（，11，+）【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题14若正实数a，b，c满足3a2+10ab8b2=c2，且ab，若不等式5a+6bkc恒成立，则实数k的最大值为2【考点】其他不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】3a2+10ab8b2=（3a2b）（a+4b）=c2，设3a2b=tc，则a+4b=c，t0，不等式5
18、a+6bkc恒成立转化为kt+，利用基本不等式即可求出k的最大值【解答】解：3a2+10ab8b2=（3a2b）（a+4b）=c2，设3a2b=tc，则a+4b=c，t0，则5a+6b=（3a2b）+2（a+4b）=tc+ckc，c0，kt+，t+2=2，当且仅当t=1时取等号，k2，实数k的最大值2，故答案为：2【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是换元的思想，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知a0且a1，设命题p：函数在x（0，+）内单调递减，命q：曲线y=x2+（2a3）x+1与x轴交于
19、不同的两点，若“p且q”为真命题，求a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可【解答】解：若函数在x（0，+）内单调递减，则0a1，即p：0a1若y=x2+（2a3）x+1与x轴交于不同的两点，则判别式=（2a3）240，解得a或0a，即q：a或0a，若“p且q”为真命题，则p，q都为真命题，即p是假命题，q是真命题，则，解得a【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键16（14分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a0）（）讨论f（x）的单调性
20、；（）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】导数的综合应用【分析】（）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（）当a0，x0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f（1）0且f（2）0，即可求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）=ax3+3x2+3x，f（x）=3ax2+6x+3，令f（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则=36（1a），若a1时，则0，f（x）0，f（x）在R上是增函数；因为a0，当a1，0，f（x）=
21、0方程有两个根，x1=，x2=，当0a1时，则当x（，x2）或（x1，+）时，f（x）0，故函数在（，x2）或（x1，+）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a0时，则当x（，x1）或（x2，+），f（x）0，故函数在（，x1）或（x2，+）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（）当a0，x0时，f（x）=3ax2+6x+30 故a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f（1）0且f（2）0，解得，a的取值范围）（0，+）【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用17（
22、14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2=0和圆C1：x2+y2+8x+F=0若直线l被圆C1截得的弦长为2（1）求圆C1的方程；（2）设圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论【考点】直线和圆的方程的应用 【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；直线与圆【分析】（1）把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理及勾股定理利用圆的半径及弦心距列出方程，即可求出F，得到圆的方程；
23、（2）先令圆方程中y=0分别求出点A和点B的坐标，可设出点P的坐标，分别表示出直线PA和PB的斜率，然后写出直线PA和PB的方程，分别令直线方程中y=0求出M与N的坐标，因为MN为圆C2的直径，根据中点坐标公式即可求出圆心的坐标，根据两点间的距离公式求出MN，得到圆的半径为 MN，写出圆C2的方程，化简后，令y=0求出圆C2过一定点，再利用两点间的距离公式判断出此点在圆C1的内部，得证；【解答】解：（1）圆C1：（x+4）2+y2=16F，则圆心（4，0）到直线2xy+3+8=0的距离d=1根据垂径定理及勾股定理得：（）2+12=16F，F=12圆C1的方程为（x+4）2+y2=4；（2）令圆
24、的方程（x+4）2+y2=4中y=0得到：x=6，x=2，则A（6，0），B（2，0）设P（x0，y0）（y00），则（x0+4）2+y02=4，得到（x0+4）24=y02kPA=则lPA：y=（x+6），M（0，）则lPB：y=（x+2），N（0，）圆C2的方程为x2+（y）2=（）2完全平方式展开并合并得：x2+y22（）y+=0将代入化简得x2+y2（）y12=0，令y=0，得x=2，又点Q（2，0），由Q到圆C1的圆心（4，0）的距离d=422，则点Q在圆C1内，所以当点P变化时，以MN为直径的圆C2经过圆C1内一定点（2，0）；【点评】本题考查学生灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值
25、，会根据直径的两个端点的坐标求出圆的方程以及掌握点与圆的位置关系的判别方法，灵活运用30的直角三角形的边的关系及两点间的距离公式化简求值，是一道比较难的题18（16分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年
26、至少增长20%？【考点】函数最值的应用 【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x3）（5.5x7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x3）（83）a（1+20%），解之得x6或4x5，又5.5x7.5，所以6x7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商20
27、14年的收益比2013年至少增长20%【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力19（16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值【考点】圆与圆锥曲线的综合 【专题】综合题；压轴题【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，
28、代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x4y5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向
29、量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x2）+y（yt）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x4y5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x1）2+（y2）2=5（3）设N（x0，y0），则，2（x01）+ty0=0，2x0+ty0=2，又，x0（x02）+y0（y0t）=0，x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径
30、定理及平面向量的数量积的运算法则要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和20（16分）已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值；（）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，试求a的取值范围【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】计算题；压轴题【分析】（）证明a1时函数的导数大于0（）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）t|1有三个零点，所以方
31、程f（x）=t1有三个根，根据t1应是f（x）的极小值，解出t（）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（1），最小值f（0）=1，由f（1）f（1）的单调性，判断f（1）与f（1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e1求出a的取值范围【解答】解：（）f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna 由于a1，故当x（0，+）时，lna0，ax10，所以f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增 （）当a0，a1时，因为f（0）=0，且f（x）在（0，+）上单调递增，故f（x）=0有唯一解x=0所以
32、x，f（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，而t+1t1，所以t1=（f（x）min=f（0）=1，解得t=2；（）因为存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，所以当x1，1时，|（f（x）max（f（x）min|=（f（x）max（f（x）mine1，由（）知，f（x）在1，0上递减，在0，1上递增，所以当x1，1时，（f（x）min=f（0）=1，（f（x）max=maxf（1），f（1），而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t（0，+）上单调递增，而g（1）=0，所以当t1时，g（t）0；当0t1时，g（t）0，也就是当a1时，f（1）f（1）；当0a1时，f（1）f（1）（14分）当a1时，由f（1）f（0）e1alnae1ae，当0a1时，由，综上知，所求a的取值范围为（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题
