1、十九利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1若不等式0在1,2上恒成立，则实数a的取值范围是()A(1，)B(，1)C(，4)D(4，)D解析：依题意，不等式x32xax32x.令g(x)x32x，则g(x)3x220在1,2上恒成立，因此g(x)maxg(2)4.故a4.2若存在正实数x使ex(x2a)1成立，则实数a的取值范围是()A(1，)B(0，)C(2，)D1，)A解析：存在正实数x使ex(x2a)1成立，即ax2在区间(0，)上有解令f(x)x2，f(x)2x0，所以f(x)在区间(0，)上单调递增，所以f(x)f(0)1.又ax2在区间(0，
2、)上有解，所以a(1，)3已知f(x)ln x1aex，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是()A.B(，0)C DD解析：由f(x)恒成立，设h(x)，则h(x).设g(x)ln x1，则g(x)0恒成立，所以g(x)在(0，)上单调递减又因为g(1)0，所以当0xg(1)0，即h(x)0；当x1时，g(x)g(1)0，即h(x).故选D.4已知函数f(x)m2ln x(mR)，g(x).若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，则实数m的取值范围是()A BC(，0D(，0)B解析：由题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解，所以mx2ln x在1，e上有
3、解，即在1，e上成立令h(x)，则h(x).当1xe时，h(x)0，所以h(x)在1，e上单调递增，h(x)maxh(e)，所以，所以m.所以m的取值范围是.故选B.5函数f(x)x312x3，g(x)3xm.若x11,5，x20,2，f(x1)g(x2)，则实数m的最小值是_. 14解析：由题意f(x)3x2123(x2)(x2)，则f(x)在1,2上单调递减，在2,5上单调递增，所以当x1,5时，f(x)minf(2)824313.又g(x)3xm在0,2上单调递增，所以x0,2时，g(x)ming(0)1m，所以131m，得m14.故实数m的最小值是14.6已知x(0,2)，若关于x的不
4、等式恒成立，则实数k的取值范围为_0，e1)解析：由题意，知k2xx20.即kx22x对任意x(0,2)恒成立，从而k0，因此由原不等式，得kx22x恒成立令f(x)x22x，则f(x)(x1).令f(x)0，得x1.当x(1,2)时，f(x)0，函数f(x)在(1,2)上单调递增当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以kf(x)minf(1)e1.故实数k的取值范围为0，e1)7函数f(x)x22axln x(aR)(1)若函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，求a的值；(2)若不等式2xln xx2ax3在区间(0，e上恒成立，求实数a的
5、取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2a，f(1)32a，由题意f(1)(32a)1，解得a.(2)不等式2xln xx2ax3在区间(0，e上恒成立等价于2ln xxa.令g(x)2ln xxa，则g(x)1，则在区间(0,1)上，g(x)0，函数g(x)为增函数由题意知g(x)ming(1)1a30，得a4，所以实数a的取值范围是(，48(2019全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数(1)证明：f(x)在区间(0，)上存在唯一零点；(2)若x0，时，f(x)ax，求a的取值范围(1)证明：设g(x)f(x)，则g(x)cos
6、 xxsin x1，g(x)xcos x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)上存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)上存在唯一零点(2)解：由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0)，则f(x).令g(x)ex(x1)ln x(x0)，则g(x)xex0，所以g(x)在(0，)上单调递增又g(1)0，所以当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.所以当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以当x(0,1)时，f
7、(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)单调递增所以f(x)minf(1)e1.所以ke1.结合选项知选AB.10设f(x)是奇函数f(x)的导函数，f(2)3，且对任意xR都有f(x)2，则f(2)_，使得f(ex)2ex1成立的x的取值范围是_3(ln 2，)解析：因为f(x)是奇函数，所以f(2)f(2)3.设g(x)f(x)2x，则g(2)f(2)41，g(x)f(x)20，所以g(x)在R上单调递减由f(ex)2ex1得f(ex)2ex1，即g(ex)2，得xln 2.11设a0，函数f(x)x，g(x)xln x若对任意的x1，x21，e，都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的取
8、值范围为_，)解析：因为g(x)xln x，x1，e，所以有g(x)10，函数g(x)单调递增，则g(x)maxg(e)e1.因为f(x)x，所以f(x).令f(x)0，因为a0，所以xa.当0aa.当1ae时，f(x)minf(a)2ae1恒成立当ae时，f(x)在1，e上单调递减，f(x)minf(e)e1恒成立综上，a.12设函数f(x)，g(x)a(x21)ln x(aR，e为自然对数的底数)(1)证明：当x1时，f(x)0；(2)讨论g(x)的单调性；(3)若不等式f(x)1时，s(x)0，所以s(x)在(1，)上单调递增又s(1)0，所以s(x)0.从而当x1时，f(x)0.(2)
9、解：g(x)2ax(x0)当a0时，g(x)0时，由g(x)0得x.当x时，g(x)0，g(x)单调递增(3)解：由(1)知，当x1时，f(x)0.当a0，x1时，g(x)a(x21)ln x0，故当f(x)0.当0a1，g(x)在上单调递减，g0，所以此时f(x)1时，h(x)2axe1xx0，因此，h(x)在区间(1，)上单调递增又h(1)0，所以当x1时，h(x)g(x)f(x)0，即f(x)0)，f(x).所以f(x)0(f(x)不恒等于零)，所以f(x)在(0，)上单调递减又f(1)0，所以f(x)有且只有一个零点(2)f(1)0，f(x).当m0时，在1，)上f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上单调递增，所以f(x)f(1)0，不符合题意当m0时，设g(x)mx22x1.当44m0即m1时，g(x)mx22x10恒成立所以在1，)上，f(x)0恒成立所以f(x)在1，)上单调递减，所以f(x)f(1)0，符合题意所以m1.当44m0即0m1时，g(x)0有两个不等实根设为x1，x2，且x10，可知x110，当x(x2，)时f(x)f(1)0，不符合题意综上，实数m的取值范围为1，)
