1、珠海市2022届第一学期高三摸底测试数 学本试卷共4页，22小题，满分150分，时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则ABCD2已知复数，则ABCD33已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为ABCD4函数为增函数的区间是ABCD5已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则 的最小值是A6 B 5 C 4 D36若，则ABC2 D37为了普及环保知识，增强环保意识，某人学随机抽取30名学牛参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则ABCD8下列各
2、对事件中，不互为相互独立事件的是A掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件A=一个家庭中既有男孩又有女孩，事件B=一个家庭中最多有一个女孩D甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得
3、2分，有选错的得0分9给出下列命题，其中正确命题为A若样本数据的方差为2，则数据的方差为4B回归方程为时，变量与其有负的线性相关关系C随机变量服从正态分布，则D相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好10已知是边长为2的等边角形，分别是，的中点，与交于点，则下列说法正确的是ABCD在方向上的投影为11在平面内，已知线段的长度为4，则满足下列条件的点的轨迹为圆的是ABCD12己知正方体的棱长为1，为棱上的动点，下列正确的是AB二面角的大小为C三棱锥的体积为定值D平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13若是偶函数，则 .14的展开
4、式中含的项的系数为 .15函数的最大值为 .16定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则= ，= .四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）若的内角的对边分别为，己知的面积(1)证明：；(2)若，求.18（12分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有12个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有4个次品，则对剩下的7个零件逐一检验，已知每个零件检验合格的概率为0 9，每个零件是否检验合格相
5、互独立，且每个零件的人工检验费为3元.(1)设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；(2)除了人工检验方法外还有机器检验力法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为2元，现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪个？说明你的理由.（参考数据：0.95：0.59049）19(12分)已知数列为等差数列，且，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求.20(12分)如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点.(1)证明：平面；(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.21(12分)已知双曲线的一个焦点为，
6、且经过点(1)求双曲线C的标准力程；(2)己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值.22（12分）己知函数(e为自然对数的底数)有两个零点.(1)若，求在处的切线方程；(2)若的两个零点分别为，证明：.数学参考答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A C D B A C BD BC BD AC二、填空题1314-161516 2，三、解答题17【解】(1)由-2分得. -4分因为，所以，又因为，所以，因此. -5分(2)由(1)得，所以 -6分由余弦定理得，所以，-7分解得 -8分因此，即由(1)得，所
7、以，-9分故. -10分18【解】(1) 的可能取值为15，36， -1分，-3分-5分，则的分布列为X1536P0.59050.4095-6分(2)由(1)知，-8分1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为.-10分1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为2121000 =24000元，-11分且2400023599.5，应该选择人工检验-12分19【解】(1)因为数列是等差数列， ，-4分(2)，-6分-12分20【解】(1)证明：底面，平面，由于底面为长方形，而，平面，-2分平面，-3分，为的中点，-4分，平面，-5分，又，平面. -6分(2)由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如
8、图空间直角坐标系，可得，-7分设，则有，-8分，设平面的法向量，由，则令，则，-10分由(1)平面，为平面PBC的法向量， -11分设二面角为，则-12分所以二面角的余弦值为.21【解】：(1)由题意.1分且.2分联立解得，所以双曲线C的标准方程为. -3分(2)设，过点的动直线为：.设，联立得，-4分所以，由且，解得且，-5分，即，即，6分化简得，7分所以，.7分化简得，-8分由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以-10分如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去11分因此，从而，所以，代入得，解得，此时在双曲线C上.综上，或者，. -12分22【解】(1)解：当时，1分又，所以切点坐标为，切线的斜率为2分所以切线的方程为，即3分(2)证明：由己知得有两个不等的正实根所以方程有两个不等的正实根即有两个不等的正实根4分要证，只需证，即证，-5分令，所以只需证. -6分因为，所以，-7分消去得，8分只需证. -9分设，令，则，所以只需证.10分令，则，11分所以，即当时，成立.所以，即，即. -12分
