1、八多选题命题热点之解析几何解析几何问题中的多选题，主要集中在椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，解答此类问题的基本方法是直接法圆锥曲线的几何性质(多选题)(2020潍坊高三模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A|QF1|QP|的最小值为21B椭圆C的短轴长可能为2C椭圆C的离心率的取值范围为D若，则椭圆C的长轴长为ACD解析：因为|F1F2|2，所以F2(1,0)，|PF2|1，所以|QF1|QP|2|QF2|QP|2|PF2|21，当Q，F2，P三点共线时，取
2、等号，故A正确若椭圆C的短轴长为2，则b1，a2，所以椭圆方程为y21.由11，知点P在椭圆外，故B错误因为点P(1,1)在椭圆内部，所以1.又ab1，所以ba1，所以0，解得a，所以，所以e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确若，则F1为线段PQ的中点，所以Q(3，1)，所以1.又ab1，即a211a90，解得a，所以，所以椭圆C的长轴长为，故D正确(1)恰当地应用圆锥曲线的定义，特别是涉及椭圆、双曲线和抛物线的焦点时，要特别注意其定义的应用(2)注意应用平面几何的知识，如三角形相似、全等、线段成比例等(3)涉及最值和取值范围时一般转化为函数、均值不等式问题，或利用圆锥曲线的定义解决(
3、多选题)(2020淄博高三二模)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是()A渐近线方程为4x3y0B渐近线方程为3x4y0C离心率为D离心率为AC解析：设|PF2|F1F2|2c.由|PF1|PF2|2a，可得|PF1|2c2a.设PF1的中点为M，由等腰三角形PF1F2的性质可得F2MPF1.因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|244b，所以2c2a4b，即ca2b，可得c2a2b2(2ba)2，解得3b4a.则双曲线的渐近
4、线方程为yxx，即4x3y0.离心率e.直线和圆锥曲线(多选题)(2020聊城市高三二模)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)，则下列结论正确的是()A点P到抛物线焦点的距离为B过点P和抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则OPQ的面积为C过点P与抛物线相切的直线方程为x2y10D过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值BCD解析：因为抛物线C：y22px过点P(1,1)，所以p，所以抛物线方程为y2x，焦点坐标为F.对于A，|PF|1，故A错误对于B，kPF，所以lPF：y，与y2x联立得4y23y10，所以y1y2，y1y2，所以SOPQ|OF|y1y2|
5、，故B正确对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，14k(1k)4k24k10，解得k，所以切线方程为x2y10，故C正确对于D, 依题意斜率存在，设lPM：y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，所以yM1，即yM1，则xM2，所以点M，同理N，所以kMN，故D正确(1)涉及直线和圆锥曲线的问题要注意应用“设而不求”的思想方法，用点的坐标表示所涉及的量，把几何条件转化为代数式进行运算求得结果(2)掌握弦长、面积的一般表示方法和应用圆锥曲线定义的表示方法(多选题)(2020淄博市高三月考)已知椭圆1的左、右焦点分别为F，E，直线xm(1m1)与椭
6、圆相交于点A，B，则()A当m0时，FAB的面积为B不存在m使FAB为直角三角形C存在m使四边形FBEA的面积最大D存在m使FAB的周长最大AC解析：如图对于A选项，经计算显然正确对于B选项，m0时，可以得出AFE；当m1时，AFE.根据椭圆的对称性，存在m使FAB为直角三角形，故B错误对于C选项，根据椭圆的对称性可知，当m0时，四边形FBEA面积最大，故C正确对于D选项，由椭圆的定义得FAB的周长为|AB|AF|BF|AB|(2a|AE|)(2a|BE|)4a|AB|AE|BE|.因为|AE|BE|AB|，所以|AB|AE|BE|0，当AB过点E时取等号所以|AB|AF|BF|4a|AB|AE|BE|4a，即直线xm过椭圆的右焦点E时，FAB的周长最大此时直线xmc1，但1m1，所以不存在m，使FAB的周长最大故D错误
