1、河北省保定市易县中学2020届高三数学模拟试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式得或，再根据集合运算即可.【详解】因为或 ，所以或故选：D.【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合运算，是基础题.2.若复数为实数，则正整数的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意可知只能为偶数，分别计算比较即可.【详解】因为，所以正整数的最小值为4故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属基础题.3.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（ ）A. 4B. 5C. 8D. 10【答案】D【解
2、析】【分析】根据双曲线的方程和双曲线的渐近线方程得，再根据计算即可解决.【详解】设双曲线的半焦距为，由双曲线的渐近线方程为，可得，所以，所以双曲线的焦距为10故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程及性质，是基础题.4.某地自2021年起，新高考科目设置采用“”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着物理、历史二选一的问题该地，三个学校高一的人数及高一学生选择物理的情况分别如图（1）和图（2）所示为了解该地这三个学校学生选课的原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取20%的学生进行调查，则学校抽取的选择物理的学生人数为（ ） A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】C【解析】【分析】由题
3、知抽取的学校人数为，其中选择物理的学生占比，即可求解.【详解】由题意得，抽取的学校人数为，其中选择物理的学生占比，故学校抽取的选择物理的学生人数为人故选：C.【点睛】本题考查分层抽样，是基础题.5.若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接计算即可【详解】设上、下底面半径分别为，圆台高为，由题可知：，即，所以故选：D【点睛】本题考查圆台的几何特征，属基础题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.【详解】第一次循
4、环：；第二次循环：；第三次循环：，退出循环，输出的为.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.7.函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可排除选项C、D；再由可排除选项A.【详解】因为，故为奇函数，排除C、D；又，排除A.故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.8.若，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 21B. 16C. 13D. 11【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，确定最优点，并求最大值.【
5、详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立解得观察可知，当直线过点时，有最大值16故选：B点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.9.已知函数，则有关函数的说法正确的是（ ）A. 的图象关于点对称B. 的最小正周期为C. 的图象关于直线对称D. 的最大值为【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简函数得，再根据函数性质求解即可.【详解】由题可知令，可得当时，故函数的图象不关于点对称，也不关于直线对称，故A，C错误；函数的最小正周期，故B正确；函数的最大值为1，故D错误；故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，是中档题.10.若角，
6、则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逆用两角差的正弦公式化简所给等式可推出之间的关系，再利用二倍角的余弦公式可求得，根据的范围即可确定的值.【详解】由题意可得，则，又，解得，又，故选：A【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，属于中档题.11.已知，是函数的两个极值点，则的最小值为（ ）A. B. 9C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】计算，可得，且，然后结合基本不等式计算可得结果.【详解】由题可知因，为函数的两个极值点，所以，故，又，则且所以，当且仅当，即，时取得最小值此时，符合条件故选：A【点睛】本题考查函数的极值点的性质以及利用基本不等式求最值，
7、属基础题.12.已知函数，若，恒成立，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出和的大致图象，观察可知，若，恒成立，则函数和在上有共同的零点，求解即可.【详解】令，画出和的大致图象，如图所示观察可知，若，恒成立，则函数和在上有共同的零点，因为函数的零点为，所以当函数和有共同的零点时，恒成立，于是，解得故选：C.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，是中档题.二、填空题：13.已知向量，若，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先计算出，再根据向量垂直时数量积为零求解即可.【详解】由题意知若，则，解得故答案为：.【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的坐标表示，是
8、中档题.14.设是正项等比数列的前项和，则的公比_【答案】1【解析】【分析】将变形为，再利用等比数列性质求解即可.【详解】由，得，即，所以，因为是正项等比数列，所以，所以故答案为：.【点睛】本题考查等比数列前项和公式以及等比数列的性质，是基础题.15.在中，边上的中线，则的面积为_【答案】【解析】【分析】利用，直接根据余弦定理以及面积公式计算即可.【详解】设，利用，可得，解得或（舍）所以，所以所以故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系，着重考查计算，属基础题.16.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于，两点，垂足分别为，若，则_【答案】【解析】【分析】
9、根据抛物线的性质可知，进一步可知，然后使用勾股定理可得，最后利用等面积法可求得【详解】如图，设的准线与轴的交点为由抛物线的性质知，因为轴，所以，所以在中，由勾股定理得，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查拋物线的性质和直线与抛物线的位置关系，本题关键得到，属中档题.三、解答题：（一）必考题：17.已知等差数列的前项和为，且，（）求、；（）设，的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，即可得出和；（）求得，利用裂项相消法求得，可得出，由此可求得实数的取值范围.【详解】（）设等差数列的公差为由题意
10、可得，解得，所以，；（）由，得所以因为，所以，若恒成立，需故的取值范围为【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式的求解，同时也考查了利用数列不等式恒成立求参数，考查裂项相消法的应用，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，分别为，的中点（）求证：平面平面；（）若，求点到平面的距离【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）利用几何关系和等体积法求解即可.【详解】（）因为四边形是正方形，所以因平面，平面，所以因为平面，平面，且，所以平面所以平面平面（）由（）知，为点到平面的高所以连接因为平面，平面，所以因为，
11、所以又因，所以在中，所以设点到平面的距离为，由，得，所以所以点到平面的距离为【点睛】本题考查空间几何体的线面关系以及等体积法求点到平面的距离，是中档题.19.某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):年份2013201420152016201720182019年份代号1234567年利润 (单位:亿元)（）求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为)
12、的年利润；（）当统计表中某年年利润的实际值大于由中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.参考公式:【答案】（），63亿元；（）.【解析】【分析】（I）按照公式计算即可；（II）被评为级利润年的有年，分别记为，评为级利润年的有年，分别记为，采用枚举法列出从2015至2020年中随机抽取年的总的情况以及恰有一年为级利润年的情况，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】根据表中数据，计算可得又关于的线性回归方程为.将代入，(亿元).该
13、公司2020年的年利润的预测值为亿元.由可知2015 年至2020年的年利润的估计值分别为(单位:亿元)，其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中，被评为级利润年的有年，分别记为；评为级利润年的有年，分别记为从2015至2020年中随机抽取年，总的情况分别为:，共计种情况.其中恰有一年为级利润年的情况分别为:，共有种情况.记“从2015至2020年这年的年利润中随机抽取年，恰有一年为级利润年”的概率为，故所求概率【点睛】本题考查线性回归方程的应用及古典概型的概率计算问题，考查学生运算求解能力，是一道容易题.20.椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，且的面积为
14、.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由当时，且的面积为，得到，进而求出，求解即可得到，从而可得椭圆方程；(2) 当时，代入椭圆方程，求出点坐标，进而可得线段的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程.【详解】(1)由已知得：当时，此时， 所以， 所以椭圆的方程为. (2)当时，代入椭圆的方程得：，所以， 所以，线段的中点坐标， 线段的中垂线方程为，令， 即圆心坐标为，所以半径， 因此所求圆的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考
15、题型.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：曲线没有经过坐标原点的切线.【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得导函数,根据导函数符号即可判断单调区间.（2）先讨论过原点的切线斜率是否存在.当斜率不存在时,切线为y轴,分析可知不成立.当斜率存在时,可设出切线方程和切点坐标.建立方程组,判断方程组无解,即可证明不存在这样的切线.【详解】（1）定义域为,.当时,当时,.所以在单调递减,在单调递增.（2）因为定义域为,所以轴不是曲线的切线.当经过坐标原点的直线不是轴时,设是曲线的切线,切点是.因为,所以.消去得,即.由（1）知在处取得最小值
16、,则,所以无解.因此曲线没有经过坐标原点的切线.【点睛】本题考查根据导函数判断函数的单调区间,利用导数研究曲线的切线方程,利用导数研究不等式成立问题,属于中档题.（二）选考题：选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；（2）求证：.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；
17、（2）求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，即，将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标方程化为普通方程得，联立，得或，则点、，因此，线段的中点为；（2）由（1）得，易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，因此，.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 【详解】（1）当时，恒成立，当时，解得，当时，不成立，无解，综上，原不等式的解集为（2）由（1），当且仅当，即时等号成立，的最小值是【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值