1、解答题专项训练(一)1. 2015桂林模拟已知函数f(x)lnxmx，mR.(1)若m1，求曲线yf(x)在点P(1，1)处的切线方程；(2)若f(x)没有零点，求实数m的取值范围解：(1)f(x)m，当m1时，f(1)110，故切线方程为y(1)0，即y10.(2)函数f(x)没有零点方程lnxmx即m在(0，)上无实数解令g(x)，则g(x).令g(x)0即0，得xe.在区间(0，e)上，g(x)0，函数g(x)是增函数；在区间(e，)上，g(x)，即所求实数m的取值范围是(，)2. 已知函数f(x)(xa)ex，其中e为自然对数的底数(1)若函数f(x)是区间3，)上的增函数，求实数a的
2、取值范围；(2)若f(x)e2在x0,2时恒成立，求实数a的取值范围解：(1)由题意知，f(x)(xa1)ex，因为函数f(x)是区间3，)上的增函数，所以f(x)0，即xa10在3，)上 恒成立因为yxa1是增函数，所以满足题意只需3a10，即a2.(2)令f(x)0，解得xa1.则f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(，a1)a1(a1，)f(x)0f(x)极小值当a10，即a1时，f(x)在0,2上的最小值为f(0)，若要满足题意只需f(0)e2，解得ae2，所以ae2.当0a12，即3a0，由f(x)0得x，所以f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增所以，x是函数
3、f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xlnxa(x1)，则g(x)lnx1a，由g(x)0，得xea1，所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e，即1a2时，g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时， 在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1a2时，g(x)的最小值为aea1；当a2时，g(x)的最小值为aeae.4. 2015西宁质
4、检设函数f(x)xex，g(x)ax2x.(1)若f(x)与g(x)具有完全相同的单调区间，求a的值；(2)若当x0时恒有f(x)g(x)，求a的取值范围解：(1)f(x)exxex(1x)ex.当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在(1，)内单调递增又g(x)2ax1，由g(1)2a10得a.此时g(x)x2x(x1)2，显然g(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增，故a.(2)由f(x)g(x)，得f(x)g(x)x(exax1)0.令F(x)exax1，则F(x)exa.x0，F(x)exa1a.若a1，则当x(0，)时，F(x)0，F(x)为增函数，而F(0)0，从而
5、当x0时，F(x)0，即f(x)g(x)；若a1，则当x(0，lna)时，F(x)0，F(x)为减函数，而F(0)0，从而当x(0，lna)时，F(x)0，即f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)因为e3，所以eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3.于是根据函数ylnx，yex，yx在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及(1)的结论，得f()f(3)f(e)，即.由，得ln33；由，得ln3e
6、lne3，所以3e1.解：(1)显然函数f(x)的定义域为(0，)， f(x)xm1.由已知得f(2)2m10，m2.(2)f(x)x(m1)，当10，f(x)为增函数；x(m,1)时，f(x)0，f(x)为增函数当m1时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数；x(1，m)时，f(x)0，f(x)为增函数综上所述，当1m0时，f(x)在(0，m)上为增函数；在(m,1)上为减函数；在(1，)上为增函数；当m1时，f(x)在(0,1)上为增函数；在(1，m)上为减函数；在(m，)上为增函数(3)不妨设0x11，即证明f(x2)x2f(x1)x1.当m2时，函数f(x)x22lnx3x.考
7、查函数h(x)f(x)xx22lnx2x，h(x)x2220，h(x)在(0，)上是增函数，对任意0x1h(x1)，所以f(x2)x2f(x1)x1，1，命题得证7. 已知函数f(x)(m，nR)在x1处取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)lnx，若对任意的x1R，总存在x21，e，使得g(x2)f(x1)，求实数a的取值范围解：(1)f(x)，由于f(x)在x1处取得极值2，故f(1)0，f(1)2，即解得m4，n1，经检验，此时f(x)在x1处取得极值故f(x).(2)由(1)知f(x)的定义域为R，且f(x)f(x)故f(x)为奇函数，f(0)0.当x0时，f(
8、x)0，f(x)2，当且仅当x1时取“”故f(x)的值域为2,2，从而f(x1).依题意有g(x)min，x1，e，g(x)，当a1时，g(x)0，函数g(x)在1，e上单调递增，其最小值为g(1)a1，符合题意；当1ae时，函数g(x)在1，a上单调递减，在(a，e上单调递增，所以函数g(x)的最小值为g(a)lna1，由lna1，得0a，从而知当1，不符合题意综上所述，a的取值范围为(，8. 2015山东潍坊期末函数f(x)xlnxax2x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)若函数f(x)的图象在直线yx图象的下方，求a的取值范围；(3)求证：ln(232015)
9、 2015.解：(1)函数f(x)定义域为(0，)，f(x)lnx2ax，f(x)在x1处取得极值，f(1)0，即2a0，a0.f(x)lnx，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在x1处取得极值即a的值为0.(2)由题意，得xlnxax2xx，xlnxax2.设h(x)，则h(x).令h(x)0，得0xe，h(x)在(0，e)上为增函数；令h(x)e，h(x)在(e，)上为减函数h(x)maxh(e)，a.(3)由(2)知h(x)h(e)，lnxx，即lnxx，ln11，ln22，ln33，ln20152015.以上各式相加，得ln1ln2ln3ln20151232015，ln(1232015)20151008.即ln(232015)2015，ln(232015)2015.