1、吉林省通化市通化县综合高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分， 共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数的虚部是（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据复数的概念得到答案.【详解】复数的虚部是.故选：B.【点睛】本题考查了复数的虚部，属于简单题.2.复数的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】计算共轭复数得到，再判断对应点得到答案.【详解】复数的共轭复数为，对应的点在
2、第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了共轭复数，复数对应点，意在考查学生对于复数概念的掌握情况.3.（ ）A. 4B. 2C. 0D. -4【答案】A【解析】【分析】直接利用微积分基本定理计算得到答案.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.4.用数学归纳法证明对于 的自然数都成立时，证明中的起始值 最小应取（ ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】取时，排除AB，验证和满足，排除D，得到答案.【详解】当时，排除AB，当时，当时，故和满足，排除D.故选：C.【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的理解能力和推断能力.5.曲线在处的切
3、线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,当x=0时，y=2,即切线的斜率为2，通过选项可看出C符合题意故选C6.三角形外角和为，四边形外角和为，五边形外角和为由此推断平面多边形外角和均为此推理属于（ ）A. 演绎推理B. 归纳推理C. 类比推理D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】直接利用归纳推理的定义得到答案.【详解】归纳推理是由特殊到一般的推理过程，根据题意知属于归纳推理.故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理，属于简单题.7.的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导计算解得答案【详解】，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数
4、求函数单调区间，意在考查学生的计算能力.8.的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求导得到单调区间，计算最值得到答案【详解】，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，故.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.设为任意正数则这三个数（ ）A. 都大于2B. 都小于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】假设三个数均小于2，利用均值不等式得到，得出矛盾，得到答案.【详解】假设三个数均小于2，即，故，而，当时等号成立，这与矛盾，故假设不成立，故至少有一个不小于2，C正确；取，计算排除BD；取，计
5、算排除A.故选：C.【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生的推断能力和计算能力，均值不等式的灵活运用是解题的关键.10.（ ）A. 4B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，变换得到的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.【详解】设，则，其中，.的几何意义为图中阴影面积，设，易知，则.故选：D.【点睛】本题考查了定积分的几何意义，意在考查学生的计算能力和转化能力.第卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11.若复数满足则=_【答案】【解析】【分析】直接利用复数的乘法运算得到答案.【详解】，则.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于简单
6、题.12.的极小值为_【答案】【解析】【分析】求导，根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为，计算得到答案.【详解】，则，当和时，函数单调递增；当时，函数单调递减，故函数极小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算能力和应用能力.13.数列满足，通过计算猜想_【答案】【解析】【分析】依次求出即可猜想出.【详解】因为，所以，故猜想故答案为：【点睛】本题主要考查的是由数列的递推公式写出数列的前几项，较简单.14.在空间中直线AB和CD是异面直线，则直线AC和BD的位置关系为_【答案】异面【解析】【分析】由已知可得A、B、C、D四点不在任何同一平面内，进而根据异面
7、直线的定义可得答案.【详解】若AB和CD是异面直线，则A、B、C、D四点不在任何同一平面内，故直线AC和BD一定是异面直线.故答案为：异面.【点睛】本题考查的知识点是异面直线的判定，其中根据已知分析出A、B、C、D四点不在任何同一平面内是解题关键，属于基础题.15.在等差数列中，若正整数满足，则类比这一结论写出在等比数列的一个相应结论：若，则_【答案】【解析】【分析】根据“等差数列中两项之和”类比“等比数中为两项之积”，即可求解.【详解】由题意，在等差数列中，若，可得，“等差数列中两项之和”类比“等比数中为两项之积”，所以在等比数列中，则正整数满足，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查了类比推
8、理的应用，对于类比推理的一般步骤：找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得出一个明确的结论（或猜想）三、解答题：本大题共 5 小题，每小题 12分， 共 60分16.用分析法证明：【答案】详见解析【解析】【分析】根据分析法证明步骤，将不等式两边同时平方，再展开依次证明即可.【详解】欲证，只须证，即，只须证，只须证，而显然成立，所以.不等式得证【点睛】本题考查了分析法证明不等式中的应用，属于基础题.17.用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.【详解】证明：当时，左边，右边，等式成立；假 设 当 时等式成立
9、，即.那么，即当时等式也成立.由知，等式对任何都成立.【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.18.已知函数在处的切线垂直于直线.（1）求（2）求的单调区间【答案】（1）；（2）在内单调递减，在内单调递增【解析】【分析】（1）由题意求导可得，代入可得（1），从而求，进而求切线方程；（2）的定义域为，从而求单调性【详解】解：（1）因在处切线垂直于， 所以 （2）因为的定义域为 当时，当时，在内单调递减，在内单调递增【点睛】本题考查导数几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.19.如图，抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于，两点（1）写出直线方程（2）求出弦和
10、曲线围成的阴影部分面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，再利用点斜式求直线方程即可；（2）首先求出抛物线与直线的交点坐标，再根据微积分基本定理计算可得；【详解】解：（1）因为抛物线的焦点为，所以直线方程为即 （2）联立直线与抛物线方程得，解得或则， 阴影部分面积【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，点斜式求直线方程，定积分求曲边形的面积，属于基础题.20.设函数.（1）若时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围.【答案】(1) ；(2).【解析】试题分析：（1）先求函数的导函数，根据若时，取得极值得，解之即可；（2）在其定义域内为增函
11、数可转化成只需在内有恒成立，根据二次函数的图象与性质建立不等式关系，解之即可.试题解析：(1)因为时，取得极值，所以， 即 故 (2)的定义域为.方程的判别式, （） 当, 即时，,在内恒成立, 此时为增函数. （）当, 即或时，要使在定义域内为增函数, 只需在内有即可,设，由 得 , 所以. 由(1) (2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题(2)是利用方法 求解的
