1、江苏省南通市如皋市2020届高三数学下学期期初考试试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知（为虚数单位），则复数的模为_【答案】1【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解【详解】解：由，得，故答案为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法2.已知集合，若，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】根据及集合元素的互异性，即可得出，解出即可【详解】解：，且，故答案为：【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合元素的互异性，元素与集合的关系，考查了计算能
2、力3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取_名学生【答案】50【解析】【分析】由题意，利用分层抽样的定义先求出高一年级学生所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求【详解】解：高一年级学生所占的比例为，高一年级需抽取人，故答案为：50【点睛】本题主要考查分层抽样的定义，属于简单题4.从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为_【答案】【解析】【分析】基本事件总数，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数，由此能求出同学甲被抽到且乙抽不到的
3、概率【详解】解：从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，基本事件总数，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力5.某程序框图如下图所示，当输入时，输出的_【答案】5【解析】【分析】根据题意，循环计算，即可得出结果.【详解】解：由程序框图可知，当输入，是；，是；2，否；则+1=5，输出.故答案为：5.【点睛】本题考查循环程序框图的计算，求输出值，属于基础题6.已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利
4、用两条渐近线与直线围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可【详解】解：双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为和，所以，所以，所以双曲线的离心率为：.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线渐近线方程和离心率，是基本知识的考查7.已知变量，满足约束条件，则的最大值为_【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由变量，满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，有最大值为2.故答案为：2【点睛】本
5、题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法8.已知为锐角，且，则_【答案】【解析】【分析】由已知条件，由同角三角函数关系，求出，利用凑角和两角差正弦公式，即可算出.【详解】解：因为为锐角，则，所以， .故答案为： .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，运用到同角三角函数关系以及两角和与差的正弦公式，同时考查计算能力.9.已知正四棱柱中，为上底面中心设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，则_【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积，则答案可求【详解】解：如图，正四棱柱中，则正四棱柱的侧面积分别为，正四棱锥的斜高为，正四棱锥的侧面积，故
6、答案为：【点睛】本题考查多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题10.已知等比数列的前项和为，且，则_【答案】1【解析】【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式化简求出公比，即可算出.【详解】解：由于，且为等比数列，则： ，即： ，因为：，则： ，即： ，又因为：，则： ， .解得：，则： .故答案为：1.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，运用到等比数列的通项公式，考查计算能力.11.已知圆，过点的直线与圆在轴上方交于，两点，且，则直线的斜率为_【答案】【解析】【分析】由题意设出直线的参数方程为，代入圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，得
7、到，与平方关系联立求得，的值，即可求得直线的斜率【详解】解：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，代入，得，设，对应的参数分别为，则，由，得，整理得：，由题可知，则，得，联立，解得，则，即直线的斜率为，故答案为：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线参数方程的用法，考查计算能力，是中档题12.若，且，则最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知可用表示，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解【详解】解：，且，则，当且仅当即时取等号，此时取得最小值故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值13.已知中，平面上一点满足，则_【答案】【解析】【分析】可得出，然后根据，进行
8、数量积的运算即可求出答案【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数量积运算及计算公式，考查了计算能力14.已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意，求导，令 ，求出极值点，分类讨论求出的单调性，由于存在，使得成立，转化成在，成立即可，通过导数得到的单调性判断极值，进而求出最值，即可得出实数的取值范围.【详解】解：由，得，令： ，即：，解得：，（1）当时， ，则或，则，即：，时，为增函数，时，为减函数，由于存，使得成立，则要求，成立即可，且，已知时， ，当时，只需，则： ，解得：或解得：；当时，只需或即可，即或，解得：或，（2）当时
9、， ，时，为增函数，时，为减函数，则此时，所以存在，使得成立，解得：.综上得：实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的存在性问题，通过导数判断函数的额单调性、极值、最值，考查分类讨论思想和综合分析能力.二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知（1）求函数的最小正周期；（2）求函数，的值域【答案】（1）最小正周期为（2）【解析】【分析】（1） 利用三角函数的诱导公式结合辅助角公式进行转化求解即可（2）求出函数的解析式，求出角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可【详解】解：（1），所以函数的最小正周期为，（2）
10、，因为，所以，所以，所以函数的值域为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性以及单调性与值域的关系是解决本题的关键16.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，面面，三角形为正三角形（1）若，为，中点，证明：面；（2）若，证明：面面【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，即可证明平面（2）取的中点，连接，只需证明，即可证明平面平面平面【详解】证明：（1）取的中点，连接，在中，因为，分别为，中点，所以且，因为底面为平行四边形，所以/，为的中点，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平
11、面，所以平面，（2）取的中点，连接，因为侧面为正三角形，所以，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，还涉及平行四边形的证明、面面垂直的性质，考查空间想象能力和推理能力17.过椭圆上一点作两条直线，与椭圆另交于，点，设它们的斜率分别为，（1）若，求的面积；（2）若，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1） 先通过点斜式分别写出直线，的方程，再通过曲直联立求出点和的坐标，从而求得直线的方程以及线段的长，然后利用点到直线的距离公式求出的高，从而求得其面积.（2）设
12、的中点为点，然后分类讨论，当直线过原点时，可得知直线的方程为；当直线不过原点时，结合平面几何知识可得点，三点共线，然后设直线的方程为，再通过曲直联立、韦达定理和中点坐标公式，得到，所以直线斜率为，所以直线的斜率与直线斜率不相等，即点，三点不共线，与前面的结论矛盾，最后得到直线的方程为【详解】解：（1）因为，所以直线，方程分别为，由，得：，由此解得，所以，同理可得：，所以直线的方程为，所以，（2）设的中点为点，当直线过原点时，点与点重合，因为，所以，所以直线的方程为，当直线不过原点时设，在中，因为，所以，在中，因为，所以，所以点，三点共线，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，设直线的方程为， 由
13、，得：，由韦达定理知，所以，所以直线斜率为，所以直线的斜率与直线斜率不相等，点，三点不共线（与上面的结论矛盾），综上：所求直线的方程为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，运用直线与椭圆联立，韦达定理，中点坐标公式、点到直线的距离公式等知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题18.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，
14、小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字设，五个正方形的面积和为（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；（2）求面积最小值【答案】（1），的取值范围为，（2）【解析】【分析】(1)由题意可知小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，又，所以，所以的取值范围为， ，；(2)法一：其中，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值为；法二：由（1）可知，令，则，设，利用导数得到当时，面积最小值为【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂
15、线，垂足分别为，因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形面积和为，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，所以的取值范围为，答：面积关于的函数表达式为，的取值范围为，.（2）法一：， ，其中，所以，此时，因为，所以，所以，所以，则，化简得：，由此解得：，因为，所以，答：面积最小值为，法二：，令，则，设，令，得：，0极小值所以时，面积最小值为，答：面积最小值为.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题19.若函数的
16、图像上存在两个不同的点关于轴对称，则称函数图像上存在一对“偶点”（1）写出函数图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程）（2）证明：函数图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数图像上有且只有一对“偶点”，求的取值范围【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；（2）要证：函数数图象上有且只有一对“偶点”，只需证：在上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；（3）由题意，问题可转化为函数只有一个零点，结合函数的性质及导数可求【详解】（1）函数图像上一对“偶点”的坐标为，（2）设，因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，要证：函数图像上有且只有
17、一对“偶点”，只需证：在上有且只有一个零点，令，得，所以，函数在上为单调减函数，在上为单调增函数，所以函数在上有且只有一个零点，所以函数图像上有且只有一对“偶点”，（3）设，因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，因为函数图像上有且只有一对“偶点”，所以函数在有且只有一个零点，当时，因为，所以函数在上为单调增函数，所以，所以函数在无零点，当时，由，得：，所以函数在上单调减函数，在上单调增函数，所以，设，所以函数在上单调增函数，在上单调减函数，所以，所以，所以，设，设，因为，所以函数在单调增函数，所以，所以函数在单调增函数，所以，所以当时，因函数在上单调增函数，所以函数在上有且仅有一个，使得，综上
18、：的取值范围为.点睛】本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性20.已知数列，满足：，（1）若是等差数列，且公差，求数列的通项公式；（2）若、均是等差数列，且数列的公差，求数列的通项公式【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）是等差数列，且公差，所以，由，进而算出，利用累加法，即可求出数列的通项公式；（2）因为是等差数列，且数列的公差，所以，得出，根据题意，进而求出，可得出的首项和公差，求得，所以，分类讨论为奇数和偶数时，求出数列的通项公式【详解】（1）因为是等差数列，且公差，所以，所以，因为，即：，所以，上面式子相加得：，所以，当时也满足上面的通项，综上：数列的通项公式，（2）因为是等差数列，且数列的公差，所以，得：，即，所以，因为是等差数列，设等差数列的公差为，所以，由此解得：，所以，满足，即，因为，所以，所以，当时，所以，当时，所以，综上：数列的通项公式.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和递推关系的应用，还运用累加法求数列的通项公式，考查计算能力和转化思想.
