1、8.3圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义及方程定义平面上到的距离等于的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圆心:半径:一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆心:-D2,-E2半径:注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点M在圆内.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”
2、.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12-3a2-4a+4的圆.()(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F0.()2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称
3、,则圆C的标准方程为()A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=13.以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程为()A.(x+2)2+(y-1)2=25B.(x-1)2+(y-5)2=25C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=54.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3
4、)2+(y-1)2=15.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则AOB外接圆的方程为.关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为6,则圆C的方程为.解题心得求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆及圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程.常用的几何性质如下:(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的垂直平分线上;(3)当两圆内切或外切时,切点与
5、两圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程,一般地,若题目中有与圆心和半径有关的信息,则选择标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),若已知圆上三点的坐标(或三点坐标易求),则选择一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0);(2)由题目给出的条件,列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征对点训练1(1)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.(2)(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的
6、有()A.圆M的圆心坐标为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6考点与圆有关的轨迹问题【例2】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.解题心得求与圆有关的轨迹方程的方法对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点P(2,2),圆C:x
7、2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为.考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)形如u=y-bx-a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式
8、的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为和.考向2借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是.解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:
9、x2+y2-2y=0上的动点,则ABP的面积的最小值为.考向3建立函数关系求最值【例5】(2020福建厦门模拟)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则PAPB的最大值为.解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为.8.3圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.定点定长(a,b)rD2+E2-4F22.(1)=(2)(3)0).又圆C与直线4x-3y
10、=0相切,所以|4a-3|5=1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.5.(x-1)2+(y-2)2=5(方法1)由题意知OAOB,则AOB外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=5,所以AOB外接圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.(方法2)设AOB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为该圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以4+2+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-2,E=-4,F=0,则AOB外接圆的方程为x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力学案突破例1(1)(x
11、-3)2+y2=2(2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)(方法1)由已知得kAB=0,所以线段AB的垂直平分线的方程为x=3.过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.联立,解得x=3,y=0,所以圆心坐标为(3,0),半径r=(4-3)2+(1-0)2=2,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.(方法2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),因为点A(4,1),B(2,1)都在圆C上,所以(4-a)2+(1-b)2=r2,(2-a)2+(1-b)2=r2,解得a=3.由题意可知b-1a-2=-1,所以b=0.所以r=(4-3
12、)2+(1-0)2=2.故圆C的方程为(x-3)2+y2=2.(2)由圆C的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a,-a),又圆C与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=2a-32,圆C被直线x-y-3=0截得的弦长为6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)x2+y2-2x=0(2)ABD(1)设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的
13、垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.(2)由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,故圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,显然选项A正确,选项C不正确.令y=0,解得x1=0,x2=8,故圆M被x轴截得的弦长为8,同理,圆M被y轴截得的弦长为6,故选项B,D均正确.故选ABD.例2解(1)设点C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y0.又ACBC,所以kACkBC=-1.又kAC=yx+1,kBC=yx-3,所以yx+1yx-3=-1,化简得
14、x2+y2-2x-3=0.故直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).(2)设点M(x,y),C(x0,y0),因为点B(3,0),M是线段BC的中点,所以x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0),即(x-1)2+y2=4(y0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y0),即(x-2)2+y2=1(y0).故点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).对点训练2(1)D(2)(x-1)2+(y-3)2=2(1)由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如
15、图.因为|PQ|=|PO|,且PQCQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.故选D.(2)依题意,圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心C(0,4).设点M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题意知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.因为点P在圆C的内部,所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C(2,7),半径r=22.设m+2n=t,则点M(
16、m,n)为直线x+2y=t与圆C的公共点,所以圆心C到该直线的距离d=|2+27-t|12+2222,解得16-210t16+210.所以m+2n的最大值为16+210.(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.因为点M(m,n)为圆C上任意一点,所以可设m-2=22cos,n-7=22sin,(为参数)即m=2+22cos,n=7+22sin,(为参数)所以m+2n=2+22cos+2(7+22sin)=16+22cos+42sin=16+210sin(+),其中tan=12.因为-1sin(+)1,所以m+2n的最大值为16+210.(2)设点Q(-
17、2,3).则直线MQ的斜率k=n-3m+2.设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ与圆C有公共点,得|2k-7+2k+3|k2+122,解得2-3k2+3,即2-3n-3m+22+3.所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.对点训练34+734-73由题意,得y+1x表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2k-2|k2+1=1,解得k=473.所以zmax=4+73,zmin=4-73.例
18、425依题意,圆心C(2,1),半径r=5.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A(m,n),则m+02+n+22+2=0,n-2m-0=1,解得m=-4,n=-2,故A(-4,-2).连接AC交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA|+|PQ|=|AQ|=|AC|-r=25.对点训练4112依题意,圆心C(0,1),半径r=1.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,连接BP,AP,此时ABP的面积最小.因为直线AB的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C到直线AB的距离
19、d=165.又|AB|=32+42=5,所以ABP的面积的最小值为125165-1=112.例512由题意,知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PAPB=x2+y2-4.因为点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的点,所以x2+(y-3)2=1,2y4,所以x2=-(y-3)2+1,所以PAPB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.因为2y4,所以当y=4时,PAPB的值最大,最大值为64-12=12.对点训练510由题意,知PA=(-x,2-y),PB=(-x,-2-y),所以PA+PB=(-2x,-2y),所以|PA+PB|=2x2+y2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1x5,所以y2=-(x-3)2+4,所以|PA+PB|=2x2-(x-3)2+4=26x-5.因为1x5,所以当x=5时,|PA+PB|的值最大,最大值为265-5=10.
