1、1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法基础认知自主学习函数的表示方法解析法用_表示两个变量之间的对应关系图象法用_表示两个变量之间的对应关系列表法_来表示两个变量之间的对应关系数学表达式图象列出表格函数的三种表示方法各自有哪些优缺点？提示：表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大解析法(1)简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；(2)可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观，而且
2、并不是所有的函数都能用解析法表示出来1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)任何一个函数都可以用图象法表示()提示：有些函数是不能画出图象的，如 f(x)1，xQ，1，xRQ.(2)任何一个函数都可以用解析法表示()提示：并不是所有的函数都可以用解析法表示(3)函数 yx2 的图象向右平移 3 个单位可得函数 y(x3)2 的图象()提示：函数 yx2 的图象向右平移 3 个单位可得函数 y(x3)2 的图象(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线()提示：有些函数的图象不是一条连续不断的曲线，如 f(x)1x 的图象就不是连续的曲线2(教材例题改编)购买某种饮料 x 听，所需钱数为 y 元
3、，若每听 2 元，用解析法将 y表示成 x(x1，2，3，4)的函数为()Ay2x By2x(xR)Cy2x(x1，2，3，)Dy2x(x1，2，3，4)【解析】选 D.由题知 y2x，自变量的取值范围是 x1，2，3，43已知 f(x)是反比例函数，且 f(3)1，则 f(x)的解析式为_【解析】因为 f(x)是反比例函数，所以设 f(x)kx(k0).因为 f(3)1，所以 k3 1，即 k3，所以 f(x)3x.答案：f(x)3x能力形成合作探究类型一 列举法表示函数(数学抽象)1已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于()x1x222x4f(x)123A1 B2 C3 D不存在【
4、解析】选 C.因为当 2x4 时，f(x)3，所以 f(3)3.2给出函数 f(x)，g(x)如表，则 f(g(x)的值域为()x1234f(x)4321x1234g(x)1133A.1，3 B1，2，3，4C.4，2 D1，2，3【解析】选 C.因为 f(g(1)f(1)4，f(g(2)f(1)4，f(g(3)f(3)2，f(g(4)f(3)2，所以 f(g(x)的值域为4，23对于定义域为 R 的函数 yf(x)，部分 x 与 y 的对应关系如表：x21012345y02320102则 f(f(f(0)_【解析】由列表表示的函数可得 f(0)3，则 f(f(0)f(3)1，f(f(f(0)
5、f(1)2.答案：24下表表示函数 yf(x)，则 f(x)x 的整数解的集合是_x0 x55x1010 x1515x20yf(x)46810【解析】当 0 x5 时，f(x)x 的整数解为1，2，3当 5x10 时，f(x)x 的整数解为5当 10 x15 时，f(x)x 的整数解为.当 15x20 时，f(x)x 的整数解为.综上所述，f(x)x 的整数解的集合是1，2，3，5答案：1，2，3，5巧解用列表法表示的函数问题(1)读懂表格，明确自变量每个取值所对应的函数值(2)用数学符号准确表示，例如本例 2 中 f(1)4，g(1)1 等(3)注意分类讨论思想的灵活应用，例如本例 4.【补
6、偿训练】已知函数 f(x)，g(x)分别由表给出则 f(g(1)的值为_；当 g(f(x)2 时，x_【解析】f(g(1)f(3)1，因为 g(f(x)2，所以 f(x)2，所以 x1.答案：1 1类型二 函数的图象及应用(数学抽象、直观想象)1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()【解析】选 D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头方向经
7、过点 B 跑到点 C，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 t(s)，他与教练间的距离为 y(m)，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的()A点 M B点 N C点 P D点 Q【解析】选 D.由图知固定位置到点 A 的距离大于到点 C 的距离，所以舍去 N，M 点，不选 A，B；若是 P 点，则从最高点到 C 点依次递减，与图 2 矛盾，因此取 Q 点3已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(5)_，f(f(2)_【解析】由题图可知 f(5)32，f(2)0，f(0)4，故 f(f(2)4.答案
8、：32 44作出下列函数的图象，并指出其值域：(1)yx2x(1x1)；(2)y2x(2x1，且 x0).【解析】(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图 1 所示由图可知 yx2x(1x1)的值域为14，2.(2)用描点法可以作出函数的图象如图 2 所示由图可知 y2x(2x1，且 x0)的值域为(，12，).画函数图象的两种常见方法(1)描点法：一般步骤：列表先找出一些(有代表性的)自变量 x，并计算出与这些自变量相对应的函数值 f(x)，用表格的形式表示出来；描点从表中得到一系列的点(x，f(x)，在坐标平面上描出这些点；连线用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来(2)变换作图
9、法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等1作出下列函数的图象：(1)yx1(xZ).(2)yx22x(x0，3).【解析】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线 yx1 上，如图(1)所示(2)因为 0 x3，所以这个函数的图象是抛物线 yx22x 介于 0 x3 之间的一部分，如图(2)所示2已知函数 f(x)2x32x1.(1)把函数 f(x)化为 f(x)a cxb 的形式(2)用平移变换的方法作出函数 f(x)的图象，并说明作图过程(3)若定义域为0，12(1，)，通过观察图象直接写出函数 f(x)的值域【解析】(1)f(x)2x32x1 2x122x1122x1
10、1 1x12.(2)函数 y1x的图象向右平移12 个单位得函数y1x12的图象，再向上平移 1 个单位得函数y1 1x12的图象如图所示：(3)通过观察图象可知，函数 f(x)的值域为(1，1)(3，).【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些？提示：(1)yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称(2)yf(x)与 yf(x)的图象关于 x 轴对称(3)yf(x)与 yf(x)的图象关于点(0，0)对称(4)yf(|x|)是保留 yf(x)的 y 轴右边的图象，去掉 y 轴左边的图象，且将右边图象沿y 轴对折而成(5)y|f(x)|是保留 yf(x)的 x 轴上方的图象，将 x 轴下方
11、的图象沿 x 轴对折且去掉 x轴下方的图象而成【拓展训练】若函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x1)的图象大致为()【解析】选 C.yf(x)的图象向左平移 1 个单位，可得函数 yf(x1)的图象，再作关于 x 轴对称的图象，可得函数 yf(x1)的图象类型三 求函数的解析式(数学抽象、数学运算)待定系数法求函数解析式【典例】已知 f(x)为二次函数，且满足 f(0)1，f(x1)f(x)4x，求 f(x)的解析式【思路导引】设 f(x)ax2bxc(a0)，利用 f(0)1，求出 c，再根据恒成立、对应系数相等求 a，b.【解析】因为 f(x)为二次函数，设 f(x)ax2bx
12、c(a0).由 f(0)1，得 c1.又因为 f(x1)f(x)4x，所以 a(x1)2b(x1)c(ax2bxc)4x，整理，得2axab4x，求得 a2，b2，所以 f(x)2x22x1.本例条件“f(0)1，f(x1)f(x)4x”改为“f(1x)f(1x)，f(2)1，f(1)3，”如何求 f(x)?【解析】由 f(1x)f(1x)且 f(1)3，可设 f(x)a(x1)23(a0)，又因为 f(2)a(21)231，故 a2，所以 f(x)2x24x1.换元法(或配凑法)求函数解析式【典例】已知函数 f(2x1)6x5，则 f(x)的解析式是()A3x2 B3x1C3x1 D3x4【
13、思路导引】可令 2x1t，再求 x，即可得出 f(x)的表达式；或将解析式右侧也配凑出 2x1 求解【解析】选 A.方法一：令 2x1t，则 xt12.所以 f(t)6t1253t2.所以 f(x)3x2.方法二：因为 f(2x1)3(2x1)2.所以 f(x)3x2.方程组法求函数解析式【典例】已知函数 yf(x)满足 f(x)2f1x3x，则 f(x)的解析式为_【思路导引】分析已知等式的特点，用1x 代换等式中的 x，构建关于 f(x)和 f1x的方程组解方程组求出 f(x).【解析】由题意知函数 yf(x)满足 f(x)2f1x3x，即 f(x)2f1x3x，用1x 代换等式中的 x，
14、可得 f1x2f(x)3x，联立得，f（x）2f1x 3x，f1x 2f（x）3x，解得 f(x)x2x(x0).答案：f(x)x2x(x0)函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)解方程组法：已知 f(x)与 f1x或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).1若 f(x)对于任意实数 x 恒有 3f(x)2f(x)5x1，则 f(x)()Ax1 Bx1C2x1 D3x3【解析】选 A.因为 3f
15、(x)2f(x)5x1，所以 3f(x)2f(x)5x1，解得 f(x)x1.2(2021信阳高一检测)已知 f2x1 x3，则 f(x)的解析式可取()Af(x)3x1x1(x1)Bf(x)3x1x1(x1)Cf(x)2x1x2(x1)Df(x)x1x2(x1)【解析】选 A.令 t2x 1，(t1)，则 x 2t1，因为 f2x1x3，所以 f(t)2t1 33t1t1，(t1).所以 f(x)3x1x1，(x1).3已知函数 f(x1)3x2，则 f(x)的解析式是_【解析】令 tx1，则 f(t)3t1，即 f(x)3x1.答案：f(x)3x14已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x
16、)4x1，则 f(x)_【解析】因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)，则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又因为 f(f(x)4x1，所以 a2xabb4x1.所以a24，abb1，解得a2，b13或a2，b1.所以 f(x)2x13 或 f(x)2x1.答案：2x13 或2x1【补偿训练】1.设函数 f1x1xx，则 f(x)的表达式为()Af(x)1x1x Bf(x)1xx1Cf(x)1x1x Df(x)2xx1【解析】选 C.令 t1x1x，解得 x1t1t，代入 f1x1xx，可得 f()t1t1t，所以 f(x)1x1x.2根据下列条件，求函数的解
17、析式：(1)已知 f1xx1x2，求 f(x).(2)f(x)是二次函数，且 f(2)3，f(2)7，f(0)3，求 f(x).【解析】(1)设 t1x，则 x1t(t0)，代入 f1xx1x2，得 f(t)1t11t2 tt21，故 f(x)xx21(x0 且 x1).(2)设 f(x)ax2bxc(a0).因为 f(2)3，f(2)7，f(0)3.所以4a2bc3，4a2bc7，c3.解得a12，b1，c3.所以 f(x)12 x2x3.学情诊断课堂测评1如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象由图象可知，下列说法中错误的是()A.这天 15 时的温度最高B这天 3 时的温度最低C这
18、天的最高温度与最低温度相差 13 D这天 21 时的温度是 30【解析】选 C.这天的最高温度与最低温度相差为 362214()，故 C 错误2如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 f(f(0)_【解析】由图象可知 f(0)4，f(4)2，所以 f(f(0)2.答案：23已知函数 f(x1)2x1，则 f(x1)_【解析】由已知得 f(x1)f(x21)2(x2)12x5.答案：2x54某问答游戏的规则是：共 5 道选择题，基础分为 50 分，每答错一道题扣 10 分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分 y 与答错题目道数 x(x0，1，2，3，4，5)之间的函数关系【解析】(1)该函数关系用列表法表示为：x/道012345y/分50403020100(2)该函数关系用图象法表示，如图所示(3)该函数关系用解析法表示为 y5010 x(x0，1，2，3，4，5).5已知函数 f(x)x2pxq 且满足 f(1)f(2)0，求函数 f(x)的解析式【解析】因为 f(1)f(2)0，所以有1pq0，42pq0，解得p1，q2，故 f(x)x2x2.
