1、立体几何与空间向量学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 42. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题, 其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时, 增加的水量约为(2.65)( )A. 1.0B. 1.2C. 1.4
2、D. 1.63. 已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（）A. 100B. 128C. 144D. 1924. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A. B. C. D. 5. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为( )A. 20B. 40C.
3、 50D. 906. 已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一个球面上,若该球的体积为36,且3l3,则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. 18,B. ,C. ,D. 18,27二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）7. 已知正方体ABCD-,则( )A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为C. 直线与平面D所成的角为D. 直线与平面ABCD所成的角为8. 如图,四边形ABCD为正方形,ED平面ABCD,FBED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为,则（）A. =B. =C. =+D. =9. 如图，在正方体中，O
4、为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足的是( )A. B. C. D. 10. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=+，其中0，1，0，1，则（）A. 当=1时，AB1P的周长为定值B. 当=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值C. 当=时，有且仅有一个点P，使得A1PBPD. 当=时，有且仅有一个点P，使得A1B平面AB1P三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）11. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥ANMD1的体积为12. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD=6
5、0,以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13. (本小题12.0分)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为2.(1)求A到平面的距离;(2)设D为的中点，平面平面，求二面角A-BD-C的正弦值.14. (本小题12.0分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45，求三棱锥A-BCD的体积.15. (本小题12.0分)在四棱锥中，底面是正方形
6、，若（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值16. (本小题12.0分)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，QB，求PB与平面QCD所成角的正弦值17. (本小题12.0分)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,ABAC,E是PB的中点.(1)证明：OE平面PAC;(2)若ABO=CBO=,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B正弦值.18. (本小题12.0分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1
7、)证明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】ABD8.【答案】CD9.【答案】BC10.【答案】BD11.【答案】12.【答案】13.【答案】解：(1)设A到平面的距离为d，因为直三棱柱的体积为4，即可得，故，又，解得d=，所以A到平面BC的距离为；(2)连接，因为直三棱柱中，故四边形为正方形，即，又平面平面，平面平面，平面,故平面，因为BC平面，所以,又因为，平面，且，故平面，因为AB平面，则,所以三条直线两两垂直，故如图可以以B为原点建
8、立空间直角坐标系,设，则，由条件可得，解得，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，(0,2,2)，的中点D(1,1,1)，所以=(0,2,0)，=(1,1,1)，=(2,0,0)设平面ABD的一个法向量为=(x,y,z)，,取=(1,0,-1)，同理可求得平面BCD的一个法向量为=(0,1,-1)所以|=，所以二面角A-BD-C的正弦值为.14.【答案】解：（1）证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AO平面BCD，所以AO平面BCD，又CD平面BCD，所以AOCD；（2）取OD的中点F，因为OCD为正三角形，
9、所以CFOD，过O作OMCF与BC交于点M，则OMOD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（0，-1，0），D（0，1，0），设A（0，0，t），则，因为OA平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，设平面BCE的法向量为，又，所以由，得，令x=，则y=-1，故，因为二面角E-BC-D的大小为45，所以，解得t=1，所以OA=1，又，所以，故=15.【答案】解：（1）证明：取的中点为，连接.因为，则，而，故AO=DO=1，.在正方形中，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，OC、AD平面ABCD,故平面，因为平
10、面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，因为（1）中的平面，OT平面，QOOT，故可以OT为x轴，以OD为y轴，以OQ为z轴,建如图所示的空间直角坐标系.则，故.设平面的一个法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.又二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.16.【答案】解：（1）证明：过P在平面PAD内作直线l / AD，由AD / BC，可得l / BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，又BCCD，CDPDD，CD，PD平面PCDBC平面PCD，l / BC，l平面PCD；（2）如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线
11、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，PDAD1，Q为l上的点，QB，PB，QP1，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），设Q（1，0，1），则（1，0，1），（1，1，1），（0，1，0），设平面QCD的法向量为（a，b，c），则，取c1，可得（1，0，1），cos，-，PB与平面QCD所成角的正弦值为17.【答案】解：(1)法一:连接OA、OB,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO平面ABC,所以POOA,POOB,所以POA=POB=,又PA=PB,PO=PO,所以POAPOB,所以OA=OB,作AB中点D,连接OD、DE,
12、则有ODAB,又ABAC,所以ODAC,又因为OD平面PAC,AC平面PAC,所以OD平面PAC,又D、 E分别为AB、PB的中点, 所以, 在BPA中, DEPA又因为DE平面PAC,PA平面PAC,所以DE平面PAC,又OD、DE平面ODE,ODDE=D,所以平面ODE平面PAC,又OE平面ODE,所以OE平面PAC;法二:(1)连接OA、OB,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO平面ABC,所以POOA,POOB,所以POA=POB=,又PA=PB,PO=PO,所以POAPOB,所以OA=OB,又ABAC,在RtABF,O为BF中点,延长BO,交AC于F, 连接PF,所以在PBF中,
13、O、E分别为BF、PB的中点,所以EOPF,因为EO平面PAC,PF平面PAC,所以EO平面PAC;(2)法一:过点D作DFOP,以DB为x轴,DO为y轴,DF为z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.因为PO=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,又ABO=CBO=,所以OD=2,DB=2,所以P(0,2,3),B(2,0,0),E(,1,),设AC=a,则C(-2,a,0),平面AEB的法向量设为=(,),直线AB的方向向量可设为=(1,0,0),直线DP平面AEB,直线DP的方向向量为=(0,2,3),所以,所以=0,设=3,则=-2,所以=(0,3,-2);平面AEC的法向量设为=(,),
14、=(0,a,0),=(3,1,),所以,所以=0,设=,则=-6,所以=(,0,-6);所以=,二面角C-AE-B的平面角为,则=,所以二面角C-AE-B的正弦值为法二:(2)过点A作AFOP,以AB为x轴,AC为y轴,AF为z轴建立所示的空间直角坐标系.因为PO=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,又ABO=CBO=30,所以,AB=4,所以P(2,2,3),B(4,0,0),A(0,0,0),E(3,1,),设AC=a,则C(0,a,0),平面AEB的法向量设为=(,),=(4,0,0),=(3,1,),所以,所以=0 设=-2,则=3,所以=(0,3,-2);平面AEC的法向量设为=(
15、x,y,z),=(0,a,0),=(3,1,),所以,所以=0,设=,则=-6,所以=(,0,-6);所以=二面角C-AE-B的平面角为,则=,所以二面角C-AE-B的正弦值为.18.【答案】解：底面ABCD，且平面ABCD，为正方形，又，且PD、DC在平面PDC内，平面PDC，且平面PBC，平面PBC，平面PBC，又平面PAD与平面PBC的交线为l，且平面，平面PDC；以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：由，得0，1，1，0，则1，设点Q的坐标为0，平面QCD的法向量为，则，即有，即，取，得，又设与夹角为，PB与平面QCD所成角为，则，于是，当t=0时，当t0时，又（当且仅当时，取等号），即得，综上可知，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为
