1、第3节随机事件的概率一、教材概念结论性质重现1样本点与样本空间把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母表示)2事件的相关概念3事件的关系与运算(1)事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)AB(或BA)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”ABAB且BA事件互斥给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB(或AB)事件对立给定样本空间与事件A，则由中所有不属于A的样本点
2、组成的事件称为A的对立事件(2)事件的和与积定义表示法图示事件的和(并)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)AB或(AB)事件的积(交)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB(或AB)(3)事件的混合运算因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，例如(A)(B)表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)(B)可简写为AB.4概率的几
3、个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P()1.(3)不可能事件的概率P()0.(4)如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)如果AB，那么P(A)P(B)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB)P(A)P(B)P(AB)1随机事件A，B互斥与对立的区别与联系当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥2从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集
4、合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)事件发生的频率与概率是相同的( )(2)随机事件和随机试验是一回事( )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( )(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生( )(5)若A，B为互斥事件，则P(A)P(B)1.( )(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( )2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”3将一枚硬
5、币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()A必然事件B随机事件C不可能事件D无法确定B解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件4(多选题)若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是()A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙不站排尾”C“甲站排头”与“乙站排尾”D“甲不站排头”与“乙不站排尾”BCD解析：对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件对于B，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件对于C，“甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件对于D，“甲不站排头”时，乙可
6、以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件故选BCD.5容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为_0.45解析：由表知10,40)的频数为2349，所以样本数据落在区间10,40)的频率为0.45.6(2021济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_0.35解析：因为事件A抽到一等品，且P(A)0.65，所以事件
7、“抽到的产品不是一等品”的概率为p1P(A)10.650.35.考点1随机事件的关系基础性(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A是对立事件 B是不可能事件C是互斥但不对立事件 D不是互斥事件C解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件(2)设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)P(B)1，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A解析：若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事
8、件再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)P(B)1，但A，B不一定是对立事件如事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)，P(B)，满足P(A)P(B)1，但A，B不是对立事件判断互斥事件、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集1(2020菏泽一
9、中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是()A“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上
10、”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件故选C.2口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C)解析：显然A与D是对立
11、事件，正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，不正确；CE为必然事件，P(CE)1，正确；P(B)，P(C)，不正确考点2随机事件的频率与概率基础性如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车
12、站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，所以用频率估计相应的概率p0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分)10202030304040505060选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2
13、)0.10.40.5.因为P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9.因为P(B1)P(B2)，所以乙应选择L2.1概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为5
14、1次，则正面朝上的频率为()A49B0.5 C0.51D0.49C解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为0.51.2(2020潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下4030703550岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A该校教职工具有本科学历的概率低于60%B该校教职工具有研究生学历的概率超过50%C该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%D解析：对于选项A，该校教职工具有本科学
15、历的概率p62.5%60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p37.5%50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p8.3%10%，故D正确故选D.考点3互斥事件与对立事件的概率综合性经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A
16、，B，C，D，E，F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是
17、“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)间接法体现了“正难则反”的思想方法1抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A发生的概率为()A. B. C. D.C解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果依题意P(A)，P(B)，所以P()1P(B)1.因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().2(2020重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为()A. B. C. D.C解析：4人到3个车站的方法总数为CA36，其中小李和小明在同一车站的方法数为A6.因此小李和小明在同一车站的概率是p，小李和小明不在同一车站的概率为p1p.故选C.
