1、【知识点回顾】1.数列的概念：数列是 的一列数，它可以看成是定义在 上的函数.2.数列的表示：3.数列的分类：（1）递增数列：（2）递减数列：（3）常数列：（4）摆动数列：4.数列的前n 项和：（1）前n 项和的定义：（2）前n 项和与的关系：【基础知识】1数列则是数列的第 项.2数列 .3 .4. .5. .6. .7. 已知数列对任意的满足，且，那么= .【例题分析】例1 求下面各数列的一个通项：； 1,2,1,2,1,2,1,2；数列的前项的和 ； (4)数列的前项和,rR)例2 已知函数，且. （1）求数列的通项公式；（2）求证：.例3 已知(1)判断数列；(2)是否存在最小正整数K
2、,使得数列中任意一项均小于K?说明理由.例4 .(1)求的值；(2)写出从的递推公式；(3)求数列的通项公式.例5 根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）；（2）；（3）【巩固迁移】1.由数列前四项 ，归纳出= .2.数列 .3. .4. .5.数列的构成法则如下：如果为自然数且之前未出现过，则用递推公式=.否则用递推公式.则= .6.对于任意都有成立，求的取值范围.7.数列(1)若(2)取数列构成一个新数列.8. 已知数列的前项和为，且当时满足，数列满足，数列满足.(1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.回顾小结谈谈几种常见的递推数列（一）形如型例1. 在数列an中，已
3、知 ，求通项公式。（二）形如型例.已知为首项为1的正项数列，且则（三）形如)型例3. 在数列中，当时，有，求.例4：已知数列中，求分析：把两边取倒数，可得,令，则，问题与例相同.解: 变形得,令，则.继续变形得: ,数列是首项是,公比是的等比数列,所以,所以可得评注：数学解题中往往要打破思维定势,在可能发生的事情中预想不可能,在不可能中寻求可能的解决途径,“以退为进,以进求退”辩证地看待问题，是解决数学问题的基本策略。一般地，型如的递推数列，变形为后，就变成了基本类型。（四）形如型常有以下情形：当时，就是类型；当时，对常见的有三种特殊情况：若（常数）；可化为类型（三）；可变形为（其中是确定的常
4、数）则新数列是等比数列；可将，变形为，设则，新数列转化为类型（三）例. 设数列满足，求通项公式例数列满足：，求的通项公式（五）其它类型例数列中，。求。例设正项数列满足.求数列的通项公式. 谈谈几种常见的递推数列一知识概要如果一个数列的连续两项（或几项）的关系，可以用一个公式（或者）来表示，就称该公式为数列的递推公式；由数列的首项（或前几项），及递推公式给出的数列，称为递推数列。递推公式是给出数列的一种重要方法。如果说由通项公式给出的数列是直接的、具体的，那么相对而言递推公式给出的数列则是间接的、抽象的。如何实现这种由“抽象”到“具体”的转化乃是我们要研究的核心内容，即求递推数列的通项。二题型和
5、方法（一）形如型常用“叠加法”，即由递推关系可得系列等式：，将以上个等式相加得：，所以有即为所求。例1. 在数列an中，已知 ，求通项公式。分析：表面上递推式不满足该类型，但若“取倒数”奇迹就出现了。解：两边取倒数递推式化为： ，即所以, 将以上个式子相加，得：即故评注：与分式有关的递推关系，常用“取倒数”法，事实上很多表面看似复杂的问题，往往是略施小“技”就会大显神通。关键是变形和转化，“变则通，通则达”。（二）形如型常用“叠乘法”，即由递推关系可得系列等式，将以上个式子相乘得，于是。（注表示相乘）例.已知为首项为1的正项数列，且则分析：结构形式很复杂，很难下手，但考虑到递推式是关于与的二次
6、齐次式，分解因式正是良策解：由已知得，因，故.由此得，以上个式子累乘，得，得评注：其实本题变形，可得,显然数列是常数列，而，于是，显得更是技高一筹。（三）形如)型例3. 在数列中，当时，有，求.分析：思路：递推式两边加，即，于是数列为等比数列，问题就变得很容易。思路：用“姊妹式”相减的方法,可得 ，新数列也是等比数列。解法：变形得，于是数列是首项为 公比为的等比数列。所以有，所以解法：由得得：，其中因此，数列是以为首项，以为公比的等比数列。，又，因此评注：两种解法均利用了“转化与化归”思想，将问题转化为等比数列来研究。都用到构造新数列将矛盾转化。除此之外，还可以用“特殊一般”的思路去“归纳”出
7、结论，该法我们以后逐渐就会接触到。例4：已知数列中，求分析：把两边取倒数，可得,令，则，问题与例相同.解: 变形得,令，则.继续变形得: ,数列是首项是,公比是的等比数列,所以,所以可得评注：数学解题中往往要打破思维定势,在可能发生的事情中预想不可能,在不可能中寻求可能的解决途径,“以退为进,以进求退”辩证地看待问题，是解决数学问题的基本策略。一般地，型如的递推数列，变形为后，就变成了基本类型。（四）形如型常有以下情形：当时，就是类型；当时，对常见的有三种特殊情况：若（常数）；可化为类型（三）；可变形为（其中是确定的常数）则新数列是等比数列；可将，变形为，设则，新数列转化为类型（三）例. 设数
8、列满足，求通项公式分析：可考虑与类型（三）类似的方法，结合“待定系数法”去构造新数列。解：可设，即与题设中递推关系比较系数得：解得，即题设变形为，所以新数列是等比数列，其首项是，公比是，于是有评注：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列），是解决问题此类题型的一般思路。本题还运用数学上常见的“类比”思维，观察到本题与例有“类似”的结构特征，将其方法“嫁接”过来，不失为一种别致的想法。能否用与例法类似的办法去解该题呢？试试怎样？例数列满足：，求的通项公式分析：变形得，引入新数列，则问题转化，即是熟悉的类型解：变形得，设，则，再变形得：，所以数
9、列是等比数列，其中首项是公比为所以有，即于是，故评注：引入新数列是“无中生有”的策略，也是解数学问题常用的想法。（五）其它类型例数列中，。求。分析 ：本题的难点是已知递推关系式中的处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。解：构建新数列，使则 ， ，即化简得 ，即 数列 是以2为首项，为公比的等比数列。 即 .评注：构造新数列本质上就是“换元法”，从整体上把握住了递推式的结构特征，以利于化简变形促进转化。例设正项数列满足.求数列的通项公式.分析：所给递推式的运算是“高级”的，可想到“取对数”使运算“降级”，从而化繁为简。解：两边取以为底的对数得：，变形得，所以数列是等比数列，首项为，公比是所以，从而解得评注：递推关系是(其中为常数)型的正项数列，常用两边“取对数”的方法简化计算，然后使问题转化为等比数列。总之，“递推数列问题”中蕴含着丰富的数学思想，如“转化与划归、函数与方程、一般与特殊”等思想，数学方法有构造法、迭代法、换元法、待定系数法等。对递推数列的深入研究，有助于锤炼思维、提高数学素养同时也能培养我们分析问题、解决问题以及创新意识。
