1、10.5离散型随机变量的数字特征必备知识预案自诊知识梳理1.离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xnPp1p2pn则称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.问题思考随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系?(2)均值的性质若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的均值是E(X),则E(Y)=E(aX+b)=.特别提示当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身;当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数之和;当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随
2、机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积.2.离散型随机变量的方差(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xnPp1p2pn则称D(X)=为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为(x).温馨提示随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.(xi-E(X)2描述了xi(i=1,2,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)是上述偏离程度的加权平均数,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.标准差与随机变量有相同的单位,
3、而方差的单位是随机变量单位的平方.(2)方差的性质若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的方差是D(X),则D(Y)=.特别提示当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0.当a=1时,D(X+b)=D(X),即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差.当b=0时,D(aX)=a2D(X),即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.3.几种特殊分布的均值和方差(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=.(2)二项分布:若XB(n,p),则E(X)=,D(X)=.(3)超几何分布:设随机变量X服从参数为N,M,n(n,
4、N,MN*,MN,nN)的超几何分布,令p=MN,则E(X)=,D(X)=nM(N-M)(N-n)N2(N-1).1.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若XN(,2),则X的均值与方差分别为E(X)=,D(X)=2.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()(3)随机变量的
5、均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()2.(2020江苏镇江高三检测)若XB80,14,则D(X)=()A.20B.40C.15D.303.已知X的分布列为:X-101P121316设Y=2X+3,则E(Y)的值为()A.73B.4C.-1D.14.设0a1,随机变量X的分布列为:X0a1P131313则当a在(0,1)内增大时()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大5.(多选)(2020山东聊城高三质检)若随机变量X服从两
6、点分布,其中P(X=0)=14,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是()A.P(X=1)=E(X)B.E(4X+1)=4C.D(X)=316D.D(4X+1)=4关键能力学案突破考点求离散型随机变量的均值与方差【例1】(2020江苏盐城模拟,18)为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行,公共自行车按每车每次的租用时间进行收费,具体收费标准如下:租用时间不超过1小时,免费;租用时间为1小时以上且不超过2小时,收费1元;租用时间为2小时以上且不超过3小时,收费2元;租用时间超过3小时的时段,按每小时2元收费.(不足1
7、小时的部分按1小时计算)已知甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过3小时,设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5,租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.(1)求甲、乙两人所付租车费相同的概率;(2)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量,求的分布列和数学期望E().解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+
8、b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).对点训练1某投资公司在2020年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.考点二项分布的均值与方差【例2】一个盒子中装有大量形状、大小一样,质量不完全相同的小球,从中随机抽取50个作为样
9、本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为5,15),15,25),25,35),35,45,由此得到样本的频率分布直方图,如图.(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在5,15内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望以及方差(以直方图中的频率作为概率).解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.对点训练2(2019天津,16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同
10、学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.考点均值与方差在决策中的应用【例3】某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概
11、率均为23,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.对点训练3为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个
12、标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:顾客所获的奖励额为60元的概率;顾客所获的奖励额的分布列及均值;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的
13、次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,r.其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.X的均值为E(X)=nMN,X的方差为D(X)=nM(N-M)(N-n)N2(N-1).【典例】已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是,方差是.答案0.30.264 5解析(方法1)用随机变量表示取出的3件产品中的次品数,则的所有可能取值是0,1,2,3,且有P(=0)=C100C903C10030.7265,P(=1)
14、=C101C902C10030.2477,P(=2)=C102C901C10030.0250,P(=3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)0.0008,所以的分布列为0123P0.72650.24770.02500.0008从而E()=00.7265+10.2477+20.0250+30.0008=0.30010.3,D()(0-0.3)20.7265+(1-0.3)20.2477+(2-0.3)20.0250+(3-0.3)20.00080.2645.(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3,故E()=nMN=310100=310=0.3,D()=nM(N-M)(
15、N-n)N2(N-1)=310(100-10)(100-3)1002(100-1)=29111000.2645.解题心得求超几何分布的均值时,直接应用公式E(X)=nMN比较简单,而方差公式不太容易记忆,一般是根据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算.对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量表示所选3人中男生的人数.(1)求的分布列;(2)求的均值与方差;(3)求1的概率.概率问题与现实生活联系密切,所以高考等各类综合考试中常以实际应用题形式呈现,多为解答题,有较大的阅读量,与社会热点问题紧密结合,考查概率与统计中的众多知识.有时也会与函数
16、、导数、数列、不等式等知识综合命题,考查形式新颖,有一定的难度.【典例】某病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0pE6,戴口罩很有必要.对点训练1(2020山东威海一模,22)新药在进入临床实验之前,需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5 000次动物实验,一次实验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确定“实验成功”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检
17、验,当2只白鼠均使用“效果明显”,即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立,且使用“效果明显”的概率均为p(0p1).(1)若p=12,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0,求p0的值;(2)若动物实验预算经费700万元,对每只白鼠进行实验需要300元,其他费用总计为100万元,问该动物实验总费用是否会超出预算,并说明理由.对点训练2(2020云南昆明三模,20)某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植,并开设网店进行销售.为了做好苹果的品控,小张从自己果园的苹果树上,随机摘取150个苹果测重(单位:克),其质量分布在区间100,400内,根据统计的
18、数据得到如图1所示的频率分布直方图.图1图2(1)以上述样本数据中频率作为概率,现一顾客从该果园购买了30个苹果,求这30个苹果中质量在(300,400内的个数X的数学期望;(2)小张的网店为了进行苹果的促销,推出了“买苹果,送福袋”的活动,买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏.该游戏的规则如下:买家点击抛掷一枚特殊的骰子,每次抛掷的结果为1或2,且出现这两种结果的概率相同;从出发格(第0格)开始,每掷一次,按照抛掷的结果,按如图2所示的路径向前行进一次,若掷出1点,即从当前位置向前行进一格(从第k格到第k+1格,kN),若掷出2点,即从当前位置向前行进两格(从第k格到第k+2格,kN),行进至
19、第31格(获得福袋)或第32格(谢谢惠顾),游戏结束.设买家行进至第i格的概率为pi(i=0,1,2,32),p0=1.求p1,p2,并写出用pi-2,pi-1表示pi(i=2,3,31)的递推式;求p32,并说明该大学生网店推出的此款游戏活动,是更有利于卖家,还是更有利于买家.10.5离散型随机变量的数字特征必备知识预案自诊知识梳理1.(1)x1p1+x2p2+xnpn=i=1nxipi问题思考提示区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.联系:对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此
20、,我们常用样本的平均值来估计总体的均值.(2)aE(X)+b2.(1)i=1n(xi-E(X)2pi(2)D(aX+b)a2D(X)3.(1)pp(1-p)(2)npnp(1-p)(3)nMN考点自诊1.(1)(2)(3)(4)2.CXB80,14,D(X)=801434=15.3.AE(X)=-12+16=-13,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.4.D根据题意可得E(X)=0+a+13=a+13,D(X)=0-a+13213+a-a+13213+1-a+13213=6a2-6a+627=6a-122+9227,所以D(X)在a0,12上单调递减,在a12,1上单调
21、递增,所以D(X)是先减小后增大,故选D.5.ABC因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=14,所以P(X=1)=34,E(X)=014+134=34,所以P(X=1)=E(X),故A正确;E(4X+1)=4E(X)+1=434+1=4,故B正确;D(X)=(0-34)214+(1-34)234=316,故C正确;D(4X+1)=42D(X)=16316=3,故D不正确.关键能力学案突破例1解(1)根据题意,分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1,A2,A3,它们彼此互斥,且P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,所以P(A3)=1-0.4-0.5=0.1.分别记“乙所付租车费
22、0元、1元、2元”为事件B1,B2,B3,它们彼此互斥,且P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,所以P(B3)=1-0.5-0.3=0.2.由题知,A1,A2,A3与B1,B2,B3相互独立,记甲、乙两人所付租车费相同为事件M,则M=A1B1A2B2A3B3,所以P(M)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.40.5+0.50.3+0.10.2=0.2+0.15+0.02=0.37.(2)据题意,的可能取值为0,1,2,3,4,P(=0)=P(A1)P(B1)=0.2;P(=1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.40.3+0.50.5=0.3
23、7;P(=2)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.40.2+0.50.3+0.10.5=0.28;P(=3)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=0.50.2+0.10.3=0.13;P(=4)=P(A3)P(B3)=0.10.2=0.02.所以的分布列为:01234P0.20.370.280.130.02数学期望E()=00.2+10.37+20.28+30.13+40.02=1.4.对点训练1解若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300-150P7929E(X1)=30079+(-150)29=200.若按“项目二”投资,设
24、获利为X2万元,则X2的分布列为X2500-3000P3513115E(X2)=50035+(-300)13+0115=200.D(X1)=(300-200)279+(-150-200)229=35000,D(X2)=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140000.E(X1)=E(X2),D(X1)D(X2),故项目一、项目二获利的数学期望相等,但项目一更稳妥.则建议该投资公司选择项目一投资.例2解(1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)10=1,解得a=0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克,而样本中小球质量的
25、平均数x=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6(克).故由样本估计总体,可估计盒子中小球质量的平均值为24.6克.(2)该盒子中小球质量在5,15)内的概率为15,则XB3,15.X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30150453=64125,P(X=1)=C3115452=48125,P(X=2)=C3215245=12125,P(X=3)=C33153450=1125.所以X的分布列为X0123P6412548125121251125则E(X)=315=35.D(X)=31545=1225.对点训练2解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,
26、且每天7:30之前到校的概率均为23,故XB3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)=323=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB3,23,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+4912
27、7=20243.例3解(1)由题意可知,所求概率P=C41C22C63C312311-232+C42C21C631-233=115.(2)设甲公司正确完成面试的题数为X,则X的取值分别为1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C20C63=15.则X的分布列为X123P153515所以E(X)=115+235+315=2,D(X)=(1-2)215+(2-2)235+(3-2)215=25.设乙公司正确完成面试的题为Y,则Y取值分别为0,1,2,3.P(Y=0)=127,P(Y=1)=C3123132=29,P(Y=2)=
28、C3223213=49,P(Y=3)=233=827,则Y的分布列为Y0123P1272949827所以E(Y)=0127+129+249+3827=2.或YB3,23,E(Y)=323=2D(Y)=(0-2)2127+(1-2)229+(2-2)249+(3-2)2827=23.由E(X)=E(Y),D(X)0,所以f(p)在区间0,13上单调递增;当p13,1时,f(p)0,所以f(p)在区间13,1上单调递减.所以f(p)的最大值为f13=427.因此实施一次此方案最高费用为900+1800427=35003(元),所以动物实验阶段估计最高实验费用为100+35003500010-4=100+17503=20503(万元).因为205030,所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率,即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家.
