1、 2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知圆x2y2DxEy0的圆心在直线xy1上，则D与E的关系是()ADE2 BDE1 CDE1 DDE2 解析D依题意得，圆心在直线xy1上，因此有1，即DE2.2以线段AB：xy20(0x2)为直径的圆的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)28 D(x1)2(y1)28 解析B直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为，圆的方程为(x1)2(y1)22.3已知F1、
2、F2是椭圆y21的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|PF2|取最大值的点P为() A(2,0) B(0,1) C(2,0) D(0,1)和(0，1) 解析D由椭圆定义，|PF1|PF2|2a4，|PF1|PF2|24， 当且仅当|PF1|PF2|，即P(0，1)或(0,1)时，取“”4已知椭圆1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是() A. B3 C. D. 解析A椭圆1的焦点分别为F1(0，3)、F2(0,3)，易得F1PF2n0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的() A充分不必要条件 B必要不充分
3、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析C方程可化为1，若焦点在y轴上，则0，即mn0.7设双曲线1的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D. 解析D双曲线的渐近线为yx，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点 即可由得x2x10. 40，即b24a2，e.8P为椭圆1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF260，则()A3 B. C2 D2 解析DSPF1F2b2tan3tan 30|sin 60，|4，42.9设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1 解
4、析B抛物线的焦点为(2,0)，由题意得 m4，n212，方程为1.10设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B. C2 D3 解析B设双曲线C的方程为1，焦点F(c，0)，将xc代入 1可得y2，|AB|222a，b22a2，c2a2b23a2，e.11已知抛物线y24x的准线过双曲线1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y2x，则双曲线的焦距为()A. B2 C. D2 解析B抛物线y24x的准线x1过双曲线1(a0，b0)的左顶点，a1，双曲线的渐近线方程为yxbx.双曲线的一条渐近线
5、方程为y2x，b2，c，双曲线的焦距为2.12已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A. B. C. D. 解析A由于M(1，m)在抛物线上，m22p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x的距离也为5，15，p8，由此可以求得m4，双曲线的左顶点为A(，0)，kAM，而双曲线的渐近线方程为y，根据题意得，a.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知直线l1：axy2a10和l2：2x(a1)y20(aR)，则l
6、1l2的充要条件是a_. 解析l1l2a1，解得a.【答案】14直线l：yk(x3)与圆O：x2y24交于A，B两点，|AB|2，则实数k_. 解析|AB|2，圆O半径为2，O到l的距离d.即，解得k.【答案】15过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_ 解析如图，圆的方程可化为(x3)2(y4)25，|OM|5，|OQ|2.在OQM中，|QA|OM|OQ|QM|，|AQ|2，|PQ|4.【答案】416在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|2，则顶点A的轨迹方程为_ 解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两
7、个切点则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2，点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a，c2，b，方程为1(x)【答案】1(x)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线yx4上，半径为2的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程 解析(1)设圆心为(a，b)，则解得故圆的方程为(x2)2(y2)28.(2)当斜率不存在时，x0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y2kx
8、，则由题意得，842，无解综上，直线方程为x0.18(12分)(2011合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由 解析(1)设椭圆方程为1(ab0)，由c，椭圆过点可得解得所以可得椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线MN的方程为：xky， 联立直线MN和椭圆的方程：化简得(k24)y2ky0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又A(2,0)，则(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)
9、0，所以MAN.19(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 解析(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知，得解得椭圆方程为1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x4,4，由已知得e2，而e，故16(x2y)9(x2y2)，由点P在椭圆C上，得y，代入式并化简，得9y2112.点M的轨迹方程为y(4x4)，轨迹是两条平行于x轴的线段20(12分)给定抛物线y22x，设A
10、(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|d，试求d的最小值 解析设P(x0，y0)(x00)，则y2x0，d|PA|.a0，x00，(1)当0a0，此时有x00时，dmina；(2)当a1时，1a0，此时有x0a1时，dmin.21(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求F1MF2的面积 解析(1)双曲线离心率e，设所求双曲线方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，知42()26，双曲线方程为x2y26.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则
11、32m26，m23，由双曲线x2y26知F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)(23，m)m230，故点M在以F1F2为直径的圆上(3)SF1MF2|F1F2|m|26.22(12分)已知实数m1，定点A(m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m时，问t取何值时，直线l：2xyt0(t0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率 解析(1)设S(x，y)，则kSA，kSB.由题意，得，即y21(xm)m1，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m时，曲线C的方程为y21(x)由消去y，得9x28tx2t220.令64t2362(t21)0，得t3.t0，t3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点(3)由(2)知直线l的方程为2xy30，设点P(a,2a3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x2的距离，则d1，d22a，.令f(a)，则f(a).令f(a)0，得a.当a时，f(a)0；当a0.f(a)在a时取得最小值，即取得最小值，min，又椭圆的离心率为，的最小值等于椭圆的离心率
