1、一、选择题1过表面积为4的球面上一点M作两两互相垂直的三条弦MA、MB、MC，则MA2MB2MC2等于()A1B2C3 D4解析：选D.由S44r2，故r1.因MA、MB、MC两两垂直，故可构造球的内接长方体，MA、MB、MC为其三条棱，长方体的体对角线长等于球的直径长2，故有MA2MB2MC2224.2用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A. B.C8 D.解析：选B.截面面积为，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R212122，R，VR3.3(2012高考四川卷)如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与
2、平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足BOP60，则A、P两点间的球面距离为()ARarccos B.CRarccos D.解析：选A.由题意知，OA，平面BCD与平面的夹角为45，如图所示OE为OB在平面上的射影，所以BOE45.过A作AH平面BCD于点H，则H一定落在OB上，AOH为OA与平面BCD所成的角，且AOHAOEBOE45.又BOP60，由cosAOPcosAOBcosBOPcos 45cos 60，AOParccos， Rarccos.4设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面，截球O的两个截面圆的半径分别为
3、1和，二面角l的平面角为150，则球O的表面积为()A4 B16C28 D112解析：选D.如图所示，|PO1|1，|PO2|，O2PO1150，P、O2、O1、O四点共面，OO2O2P，OO1PO1，O2OO130.设球的半径为r，则有sinPOO2，sinPOO1.sinO2OO1sin(POO2POO1)sin 30.r，S表4r2112.5已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，A、B两点间的球面距离为，若三棱锥OABC为正三棱锥，则该正三棱锥的体积为()A. B.C. D36解析：选B.由题意可知，rOAOBOC3，A、B两点间的球面距离为，AOB.AB3.OABC为正三棱锥
4、，ABBCAC3.过O作OO面ABC于O，则O为正三棱锥OABC底面的中心，连结AO，AO.在RtOOA中，OO.SABC33.VOABC.二、填空题6(2011高考课标全国卷)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析：依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O，连接OO.易知AC4，故AO2，在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.答案：87. (2011高考四川卷)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_解析：法一：设圆柱的
5、轴与球的半径的夹角为，则圆柱高为2Rcos ，圆柱底面半径为Rsin ，S圆柱侧2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.当sin 21时，S圆柱侧最大为2R2，此时，S球表S圆柱侧4R22R22R2.法二：设圆柱底面半径为r，则其高为2.S圆柱侧2r2.S圆柱侧4令S圆柱侧0，得rR.当0r0；当RrR时，Sy可得xR，y.则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为.答案：三、解答题9已知球的两个平行截面的面积分别为49、400，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积解：如图为球的一个大圆截面O1A249，则O1A7.又O2B2400，O2B20.(1)当两截面在球心同侧时，OO1
6、OO29，解得R2625，S球4R22 500.(2)当两截面在球心异侧时，OO1OO29，无解综上，所求球的表面积为2 500.10在北纬45圈上有A、B两点，沿该纬线圈上A、B两点的劣弧的长为(R为地球半径)，求A、B两点的球面距离解：设北纬45圈的小圆的圆心为O1，半径为r，则O1AO1Br，AOC45，AOO145.rO1AAOsin 45R.设AO1B弧度数为，由题意有rR.即RR，.又在RtAO1B中，ABRR.在AOB中，OAOBABR，AOB，故A、B两点的球面距离为.11(探究选做)已知正八面体的棱长为a，求：(1)两个相邻的面的中心间的距离；(2)两个相对面的距离解：(1)如图，正八面体SABCDP，面SBC与面SCD的中心分别为E、F，连结SE、SF并延长分别交BC、CD于M、N，则EFMNBDBDa.同理可求SBC与PBC的中心间的距离也是a.(2)面ABP面SCD，AB面SCD，AB到面SCD的距离，即为面ABP与面SCD的距离，取AB的中点R，连结SR、RN，则面RSN面SCD，即R到SN的距离h即为所求设正八面体中心为O，SSRNRNSOSNh，ha.即所求两个相对面的距离为a.
