1、2021年吉林省白城一中高考数学质检试卷（文科）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|6x0，Bx|3x5，则AB（）ABx|5x6Cx|3x5Dx|x3或5x62若复数z（12i）2，则|1z|（）A20B2C32D43等差数列3n2与等差数列52n的公差之和为（）A1B2C3D84某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如表：成绩80，90）90，100（100，110（110，120（120，130（130，140（140，150频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A在90，100内B在（100，110内C在
2、（110，120内D在（120，130内5若x，y满足约束条件，z2xy，则（）Az的最小值为1Bz的最大值为1Cz的最小值为4Dz的最大值为46已知双曲线C：4x2y2+640的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则POF1与POF2的周长之差为（）A8B16C8或8D16或167已知函数f（x）sin（x+）图象的两个对称中心为（，0），（，0），则f（x）的解析式可以为（）Af（x）sin（4x）Bf（x）sin（x）Cf（x）cos（6x）Df（x）sin（3x+）8已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A若，a，
3、b，则abB若，则b，a，abC若a，b，则abD若a，a，b，则a与b异面9我国古代数学名著九章算术里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四主责本粟问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x（）A123B133C143D15310若log212xlog3，则x的取值范围是（）A（，log32）B（log32，+）C（log23，+）D（，log23）11正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+，则（）AB2CD
4、12已知函数f（x）cos（2x+1）+4ax2+4ax只有一个零点，则a（）A2B4C2D1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13函数f（x）2x32的图象在点（1，0）处的切线的斜率为 14从集合1，2，3，4，5中任意选取一个元素作为球O的半径，则球O的表面积不小于20的概率为 15已知等比数列an的前3项和为3，且a34，则an的前n项和Sn 16已知抛物线C：y28x与圆D：x2+y2128交于A，B两点F是C的焦点，ABF的重心为G，设P是圆D上一动点，则|PG|的最大值为 三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、
5、证明过程或演算步骤。1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sinA+sinB，b2a（1）求cosA（2）若D是AB边上一点，且ACD的面积为b2，证明：ADCD18某工厂的工人生产内径为25.40mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：mm）：25.418 25.426 25.404 25.381125.398 25.441 25.437 25.375这里用xn表示有n件尺寸为xmm的零件（1）求这50件零
6、件内径尺寸的平均数x；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为s2，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在（s，+s）内的件数参考数据：取2.0419已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y24（1）求C的方程（2）直线l与y轴平行，且与C交于P，Q两点，A，B分别为C的左、右顶点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值20如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面CDD1C1底面ABCD，ABCD，ADCD1且DD13，CD2AB4，AC5（1）证明：四边形ABCD为直角梯形（2）若CDD1（，），求四棱柱ABCDA1B1C1D1体积的
7、取值范围21已知函数f（x）（1）若a1，讨论f（x）的单调性；（2）若x（0，1），f（x），求a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为2（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|x+1|（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）的最小值为m，且a2+b2m，求+的最小
8、值参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|6x0，Bx|3x5，则AB（）ABx|5x6Cx|3x5Dx|x3或5x6解：集合Ax|6x0x|x6，Bx|3x5，ABx|3x5故选：C2若复数z（12i）2，则|1z|（）A20B2C32D4解：由题设知：z（12i）2144i34i，1z4+4i，|1z|4，故选：D3等差数列3n2与等差数列52n的公差之和为（）A1B2C3D8解：等差数列3n2的公差为3，等差数列52n的公差为2，等差数列3n2与等差数列52n的公差之和为321故选：A4某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如表：成绩80，90）90
9、，100（100，110（110，120（120，130（130，140（140，150频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A在90，100内B在（100，110内C在（110，120内D在（120，130内解：由表中数据知，及格的考生共有40+15+12+10+5+284（人），在90，100内有40人，在（100，110内有15人，所以及格的所有考生成绩的中位数在（100，110内故选：B5若x，y满足约束条件，z2xy，则（）Az的最小值为1Bz的最大值为1Cz的最小值为4Dz的最大值为4解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），由z2
10、xy，得y2xz，由图可得，当直线y2xz过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4z的最小值为4故选：C6已知双曲线C：4x2y2+640的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则POF1与POF2的周长之差为（）A8B16C8或8D16或16解：双曲线C：4x2y2+640的方程为：1，所以a8P为C上异于顶点的任意一点，则POF1与POF2的周长之差为2a16或16，故选：D7已知函数f（x）sin（x+）图象的两个对称中心为（，0），（，0），则f（x）的解析式可以为（）Af（x）sin（4x）Bf（x）sin（x）Cf（x）cos（6x）Df（x）
11、sin（3x+）解：设f（x）sin（x+）的最小正周期为T，则，kZ，由T，则|3k，kZ，排除A，B，而f（x）sin（3x+）图象不关于点（，0）对称，排除D，故选：C8已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A若，a，b，则abB若，则b，a，abC若a，b，则abD若a，a，b，则a与b异面解：对于A，当a，b都平行于和的交线时，ab，所以A是假命题；对于B，b，a，ab，例如正方体ABCDA1B1C1D1，平面ABCD为，A1B1C1D1为，令aAB，bB1C1，满足ABB1C1，所以B是真命题；对于C，a，可知；b，则ab，也可能是异面直线，所
12、以C是假命题；对于D，若a，a，b，则a与b异面，也可能平行，所以D是假命题故选：B9我国古代数学名著九章算术里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四主责本粟问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x（）A123B133C143D153解：因为y2x，z2y，所以sx+2x+4x7x，由算法的功能可知，输出的x143故选：C10若log212xlog3，则x的取值范围是（）A（，log32）B（log32，+）C（log23，+）D（，log23）解：log212xlog3，x，即 x，即 x，即xlog2
13、3，求得xlog23，故选：C11正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+，则（）AB2CD解：如图：连接A6A3，A1A4，A2A7，A6A3与A1A4相交于B，在A1A4上取一点C，使得，则，设|m，则|m+m+m（2+）m，由图可知，+22，故选：D12已知函数f（x）cos（2x+1）+4ax2+4ax只有一个零点，则a（）A2B4C2D1解：f（x）cos（2x+1）+4ax2+4axcos（2x+1）+a（2x+1）2a，令t2x+1，则g（t）cost+at2a，g（t）g（t），所以
14、g（t）为偶函数，关于t0对称，所以f（x）关于x对称，所以如果f（x）只有一个零点，那么零点一定是x，证明如下：设x0为f（x）的零点，即f（x0）0，由于f（1x0）cos（2x01）+a（2x01）2acos（2x0+1）+a（2x0+1）2af（x0）0，即1x0也是f（x）的一个零点，故只能是x01x0，即x0，即f（）1a0，即a1，下面证a1时，f（x）确实只有一个零点，当a1时，f（x）cos（2x+1）+a（2x+1）2a，f（x）2sin（2x+1）+4（2x+1），f（x）4cos（2x+1）+88440，所以f（x）在R上单调递增，当x时，f（x）f（）0，f（x）单调
15、递减，故f（x）f（）0，当x时，f（x）f（）0，f（x）单调递增，故f（x）f（）0，所以当x时，f（x）f（）0，即当a1时，f（x）确实只有一个零点x，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13函数f（x）2x32的图象在点（1，0）处的切线的斜率为6xy60解：函数f（x）2x32的导数为：f（x）6x2，函数的图象在点（1，0）处切线的斜率为：f（1）6，所求的切线方程为：y6（x1），即6xy60故答案为：6xy6014从集合1，2，3，4，5中任意选取一个元素作为球O的半径，则球O的表面积不小于20的概率为解：从集合1，2，3，4
16、，5中任意选取一个元素作为球O的半径，基本事件总数n7，球O的表面积不小于20，球O的半径r，球O的表面积不小于20包含的基本事件有5个，球O的表面积不小于20的概率P故答案为：15已知等比数列an的前3项和为3，且a34，则an的前n项和Sn解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若S33且a34，则+a33，即q2+4q+40，解可得q2，则a11，则Sn，故答案为：16已知抛物线C：y28x与圆D：x2+y2128交于A，B两点F是C的焦点，ABF的重心为G，设P是圆D上一动点，则|PG|的最大值为4+8解：抛物线C：y28x与圆D：x2+y2128交于A，B两点可得A（8，8），B（8
17、，8），F是C的焦点（2，0），ABF的重心为G，G（6，0），设P是圆D上一动点，圆D：x2+y2128，圆心坐标（0，0），半径为：8，|PG|的最大值：8+4故答案为：4+8三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sinA+sinB，b2a（1）求cosA（2）若D是AB边上一点，且ACD的面积为b2，证明：ADCD解：（1）因为b2a，所以sinB2sinA，又sinA+sinB，
18、所以sinA，因为b2a，所以ab，AB，A（0，），所以cosA（2）证明：因为SACDbADsinAbADb2，所以AD，由余弦定理可得CD2AC2+AD22ACADcosAb2+（）22b（）2，所以CD，可得ADCD，得证18某工厂的工人生产内径为25.40mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：mm）：25.418 25.426 25.404 25.381125.398 25.441 25.437 25.375这里用xn表示有n件尺寸为xmm的零件（1）求这50件零件内径尺寸的平均数x；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为
19、s2，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在（s，+s）内的件数参考数据：取2.04解：（1）计算这50个零件内径尺寸的平均数为：（25.418+25.426+25.404+25.3811+25.398+25.441+25.437+25.375）25.40；（2）计算这50件零件内径尺寸的方差为：s20.0128+0.0226+024+（0.02）211+（0.01）28+0.0421+0.0327+（0.03）254.16，所以s2.040.0204，所以（s，+s）（25.3796，25.4204），计算这50个零件内径尺寸在（s，+s）内的件数是8+6+4+11+837，估计该厂1000
20、件零件中其内径尺寸在（s，+s）内的件数为100074019已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y24（1）求C的方程（2）直线l与y轴平行，且与C交于P，Q两点，A，B分别为C的左、右顶点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值解：（1）因为以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y24，所以a24，因为e，所以c21，b2a2c23，所以椭圆C的方程为+1（2）证明：设直线l的方程为xm（m0），P（m，n），Q（m，n），2m2，且m0，直线AP的方程为y（x+2），直线BQ的方程为y（x2），所以，两式相除得1，解得x，即xG，所以x
21、PxGm4为定值20如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面CDD1C1底面ABCD，ABCD，ADCD1且DD13，CD2AB4，AC5（1）证明：四边形ABCD为直角梯形（2）若CDD1（，），求四棱柱ABCDA1B1C1D1体积的取值范围【解答】（1）证明：过点D1作D1HCD，垂足为H，因为平面CDD1C1底面ABCDCD，平面CDD1C1底面ABCD，D1H平面CDD1C1，所以D1H底面ABCD，因为AD平面ABCD，所以D1HAD，又ADCD1，CDD1HH，所以AD平面CDD1C1，因为CD平面CDD1C1，所以ADCD，又ABCD，ABCD，所以四边形ABCD为直角梯形
22、；（2）解：由（1）可知，D1H底面ABCD，则D1H为四棱柱ABCDA1B1C1D1的高，因为CDD1（，），所以D1HDD1sinCDD13sinCDD1，因为ADCD，所以AD，所以四边形ABCD的面积，所以四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积VSD1H，故四棱柱ABCDA1B1C1D1体积的取值范围为21已知函数f（x）（1）若a1，讨论f（x）的单调性；（2）若x（0，1），f（x），求a的取值范围解：（1）函数f（x）的定义域是R，a1，f（x），则f（x），令f（x）0，解得x1，当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）在（1，+）单调递
23、减；（2）由，得，即对任意x（0，1）恒成立，令h（x），则h（x），则当x（0，e）时，h（x）0，h（x）单调递增，如图示：当x（0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，由，得h（x）h（aex），故xaex，故a对任意x（0，1）恒成立，设m（x）x（0，1），由（1）知m（x）在（0，1）上单调递增，故am（1），故a的取值范围是，+）（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的
24、极坐标方程为2（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x+y10曲线C的极坐标方程为2，根据，转换为直角坐标方程为（2）直线方程x+y10，转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，所以，故选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|x+1|（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）的最小值为m，且a2+b2m，求+的最小值解：（1）函数f（x）|2x1|+|x+1|，当x1时，f（x）3x3，当时，当时，f（x）3x，综上所述，f（x）的值域为；（2）由（1）可知，故，所以，则+，当且仅当，即时取等号，所以+的最小值为2
