1、廷锴纪念中学2013-2014学年度高二第二学期期中考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1. 若复数满足（为虚数单位），则为（ ）A . B . C. D. 2一个物体的运动方程为其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ）A. 10米/秒 B8米/秒 C12米/秒 D6米/秒3. 函数在处的切线方程是（ ）A B C D4函数f(x)x33x+1在闭区间上的最大值、最小值分别是（ ）A. 1，1 B. 3，-17 C. 1，17 D. 9，195已知在处有极值,则（ ）A B C D6设 则（ ）A.B.C.D. 不存在7如图为函数的图象，为
2、函数的导函数，则不等式的解集为（ ）AB C D82位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 60 B. 48 C. 42 D. 36题号12345678答案二、填空题：每小题5分，共30分9. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于第象限10当 时，在上是减函数11. 若曲线与直线相切，则的值为12甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_ _种13. 把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法。（用数字作答）
3、14. 对实数具有性质，. 若，则_三、解答题：共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（ 13分）设复数满足, 且是纯虚数, 求.16（ 13分）喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？17.（14分）已知函数(x0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。 （1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。18（ 14分）若，且为正实数，求证： 19（ 14分）
4、已知数列中，（为常数），是的前项和，且是与的等差中项 （1）求； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明20（ 14分）已知函数 （1）当时，求在上的最小值；（2）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围廷锴纪念中学2013-2014学年高二第二学期期中考试理科数学试题参考答案一、ACAB DCDB 8.从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，A共有C32A22=6种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间此时共有62=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入
5、乙，共有124=48种不同排法故答案为：489二 10. 11. 1224 13. 120 14. 13、120 解析：此例有限条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球后，还剩余17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种不同的分法。 运用隔板法必须同时具备以下三个条件：所有元素必须相同；所有元素必须分完；每组至少有一个元素。三、15解：设，由得；是纯虚数，则，16解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A A144种排法(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员
6、排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有AA480种排法17.解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数； 当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为18证明（分析法）：要证，只需证明，展开得：， 又， 即证 ，为正实数， ，当且仅当时，取等号，同理可得， 成立，19解：（1）根据题意 1分当n=2时， 3当n=3时， 5分(2) 猜想 7分 下面用数学归纳
7、法证明以上猜想。 证明: 当n= 1 时猜想显然成立。 8分 假设假设成立，即因为 又因 得： 从而 即n=k+1时，猜想也成立。 12分 根据 知，都成立。 14分20解：（1）当，2分于是，当在上变化时，的变化情况如下表：（，1）1（1, 2）20单调递减极小值0单调递增由上表可得，当时函数取得最小值0. 4分（2），因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为，因为函数在上为增函数，所以，所以 8分（3）方程在区间内恰有两个相异的实根方程在区间内恰有两个相异的实根函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点10分函数，在为减函数，在为增函数 12分， 13分 画函数，的草图，要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足 . 所以的取值范围为14分
