1、12 椭圆的简单性质01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程 (ab0)(ab0)范围|x|a，|y|b|y|a，|x|bx2a2y2b21y2a2x2b21焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点轴长长轴长，短轴长焦点焦距对称性对称轴，对称中心离心率e 二、当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越，则椭圆越接近于圆(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)2a2b(c,0)(0，c)2c坐标轴原点接近于 1接近于 0ca疑难提示椭圆方程中 a，b，c 的意义结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长
2、的一半，长半轴的长，焦点到短轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半a，b，c恰好可以构成以 a 为斜边的直角三角形，如图所示想一想1能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率 e?提示：可以由于 eca，又 c a2b2，故 eca a2b2a1b2a2.练一练2若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为()A.12 B.22C.2D2解析：由 bc 得 c2b2a2c2，a22c2 即c2a212，eca 22.答案：B3椭圆 9x2y281 的长轴长为_，短轴长为_，焦点坐标为_，顶点坐标为_，离心率为_ 答案：18 6(0，6 2)(3,0)和(0，9)2 2
3、3探究一 由椭圆方程得椭圆的几何性质典例 1 求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率(1)4x225 y2161；(2)m2x24m2y21(m0)解析(1)椭圆的方程4x225 y2161 可转化为x2254y2161.16254，焦点在 y 轴上，并且长半轴长 a4，短半轴长 b52，半焦距 c a2b216254 392，长轴长 2a248，短轴长 2b2525，焦点坐标为(0，392)，(0，392)，顶点坐标为(52，0)，(52，0)，(0，4)，(0,4)，eca 398.(2)椭圆的方程 m2x24m2y21(m0)，可化为x21m2 y214m21.m2 1
4、4m2，椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a1m，短半轴长 b 12m，半焦距长 c 32m.椭圆的长轴长 2a2m，短轴长 2b1m，焦点坐标为(32m，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m，0)，(1m，0)，(0，12m)，(0，12m)，eca 32.已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等1已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是()A(1,0)B(0，1)C(7，0)D(0，7)解析：由题意，椭圆的焦点在 y 轴上，a4，b3，所以 c a2b
5、2 4232 7，所以椭圆的焦点坐标是(0，7)，故选 D.答案：D2已知椭圆 mx2(m9)y225m(m0)的离心率 e35，求实数 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解析：椭圆的方程可化为x225m9y225m1.25 25mm9 225m90，25 25mm9，即 a225，b2 25mm9，c2a2b2 225m9，由 e35，得22525m9 925，m16.椭圆的标准方程为x225y2161，a5，b4，c3.椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8，两焦点坐标分别为(3,0)，(3,0)，四个顶点坐标分别为(5,0)，(5,0)，(0，4)，(0,4)探究二 利用几何
6、性质求标准方程典例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在 y 轴上，a2，离心率 e12；(2)一焦点坐标为(3,0)，一顶点坐标为(0,5)；(3)过点(3,0)，离心率 e 63.解析(1)由 a2，e12，可得 a24，且c212，即 c1，所以 b2a2c2413.已知椭圆的焦点在 y 轴上，所以所求的标准方程为y24x23 1.(2)由椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得 b5，所以 a2b2c225934.因此所求的标准方程为x234y2251.(3)当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a3，e 63，所以
7、 c 6，从而 b2a2c23，所以椭圆的标准方程为x29 y231；当椭圆的焦点在 y 轴上时，因为 b3，e 63，所以 a2b2a 63，所以 a227，所以椭圆的标准方程为y227x29 1.综上，所求椭圆的标准方程为x29 y231 或y227x29 1.1利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1)求出 a2，b2 的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程3解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用3已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，过 F2
8、 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 12，则椭圆 C 的方程为()A.x23 y21 B.x23 y221C.x29 y241 D.x29 y251解析：由椭圆的定义可知 2a2a12，即 a3.由 e a2b2a23，解得 b25，所以椭圆 C 的方程为x29 y251.答案：D4求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为 8，离心率为45；(2)焦点与较接近的长轴端点的距离为 10 5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直；(3)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)解析：(1)由题意，因为 2c8，所以 c4；又因为ca45，所以 a5，所以 b29，焦点在 x
9、轴上时，椭圆标准方程为x225y291；焦点在 y 轴上时，椭圆标准方程为y225x29 1.(2)由题意，ac 10 5，bc，a2b2c2，所以解得 a210，b25，焦点在 x 轴上时，椭圆标准方程为x210y251；焦点在 y 轴上时，椭圆标准方程为y210 x25 1.(3)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)由已知 a2B.又过点(2，6)，因此有22a262b21 或62a222b21.由，得 a2148，b237 或 a252，b213.故所求椭圆的标准方程为 x2148y2371 或y252x2131.探究三 椭圆的离心率椭圆的离心率
10、直接法求椭圆的离心率 方程思想求椭圆的离心率 利用椭圆的定义求离心率 求椭圆的离心率的取值范围5椭圆x24 y291 的离心率是()A.53 B.52C.133D.132解析：由方程知 a3，b2，c a2b2 5，eca 53.答案：A6(1)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.55B.22C.33D.3解析：设椭圆的焦距为 2c，则|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，(ac)(ac)4c2，即 a25
11、c2，e 55.故选 A.答案：A(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为_答案：2 757F1，F2 为椭圆的两个焦点，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，PF1PQ 且|PF1|PQ|，求椭圆的离心率解析：如图，设|PF1|m，则|PQ|m，|F1Q|2m.由椭圆定义得|PF1|PF2|QF1|QF2|2a.|PF1|PQ|F1Q|4a，即 mm 2m4a，(22)m4a.m(42 2)
12、a.又|PF2|2am(2 22)a.在 RtPF1F2中，|PF1|2|PF2|2(2c)2.即(42 2)2a2(2 22)2a24c2.c2a296 23(21)2，eca 3(21)6 3.8.如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，使F1PF260，求椭圆离心率 e 的取值范围解析：由余弦定理得 cos 60|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|12，解得|PF1|PF2|4a22|PF1|PF2|4c2，即|PF1|PF2|4b23，|PF1|PF2|(|PF1|PF2|2)2a2，3a24(a2c2)，解得ca12，又0e0，n0，mn，二要注意讨论焦点位置(即分母大小)03课时 跟踪训练
