1、2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1若集合A=1，0，1，B=x|0x2，则AB=2若命题“xR，使得x2+（1a）x+10”是假命题，则实数a的取值范围是3函数的单调增区间为4函数的定义域为5若幂函数f（x）=xa的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为6设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=7函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=
2、8已知函数f（x）在定义域2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且f（m2）f（m2+2m2），则m的取值范围是9若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y26y+m=0相切，则m=10已知椭圆C： =1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为11设为锐角，若sin（+）=，则cos（2）=12已知函数f（x）=，当x（，m时，f（x）的取值范围为16，+），则实数m的取值范围是13在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点若=，则AB的长为14设函数f（x）=（aR，e为自然对数的底数）若曲线y=si
3、nx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0）=y0，则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，（1）求sinBAD；（2）求AD及DC的长16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若，求ABC的面积；（2）设向量，且，求角B的值17如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上（1）设BOC=，征地面积记为f（），求
4、f（）的表达式；（2）当为何值时，征地面积最大？18如图所示，已知圆A的圆心在直线y=2x上，且该圆存在两点关于直线x+y1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由19已知椭圆C： +=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ
5、（其中O为坐标原点）；当最小时，求点T的坐标20已知函数f（x）=x2+ax4lnxa+1（aR）（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0）和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）m对任意的x1，+）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21已知点P是直线2xy+3=0上的一个动点，定点M（1，2），Q，是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ，求点Q的轨迹方程
6、22设圆x2+y2+2x15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程23已知函数f（x）=ln（1+x），x0，+），f（x）是f（x）的导函数设g（x）=f（x）axf（x）（a为常数），求函数g（x）在0，+）上的最小值24在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），P是动点，且POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=，直线OP与QA交于点M问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足SPQA=2SPAM？若存在，求出点P的
7、坐标；若不存在，说明理由2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1若集合A=1，0，1，B=x|0x2，则AB=1【考点】交集及其运算【分析】根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案【解答】解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故AB=12若命题“xR，使得x2+（1a）x+10”是假命题，则实数a的取值范围是1，3【考
8、点】特称命题【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“xR，使得x2+（1a）x+10”，则相应二次方程有重根或没有实根【解答】解：“xR，使得x2+（1a）x+10是假命题，x2+（1a）x+1=0没有实数根或有重根，=（1a）2401a3故答案为：1，33函数的单调增区间为【考点】复合函数的单调性【分析】根据正切函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：由kxk+，kZ，得kxk+，kZ，即函数的单调递增区间为；故答案为：4函数的定义域为（，2）（2，3）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：，解得：x3且x2，故函数的定义
9、域是（，2）（2，3），故答案为：（，2）（2，3）5若幂函数f（x）=xa的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x4y+4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可【解答】解：f（x）是幂函数，设f（x）=x图象经过点（4，2），2=4=f（x）=f（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x4y+4=0故答案为：x4y+4=06设函数f（x）=，则f（2）+f（log2
10、12）=9【考点】函数的值【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（2）+f（log212）的值【解答】解：由函数f（x）=，可得f（2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：97函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=sin（2x）【考点】正弦函数的图象【分析】根据三角函数的图象求出函数f（x）的解析式即可得到结论【解答】解：由图象知A=1，即函数的周期T=，T=，=2，即f（x）=sin（2x+），f（）=sin（2+）=1，+=+2
11、k，即=+2k，|，当k=0时，=，即f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin2（x）+=sin（2x），故答案为：sin（2x）8已知函数f（x）在定义域2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且f（m2）f（m2+2m2），则m的取值范围是【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：因为函数f（x）在定义域2a，3上是偶函数，所以2a+3=0，所以a=5所以f（m2）f（m2+2m2），即f（m21）f（m2+2m2），所以偶函
12、数f（x）在3，0上单调递增，而m210，m2+2m2=（m1）210，所以由f（m21）f（m2+2m2）得，解得故答案为9若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y26y+m=0相切，则m=8【考点】双曲线的简单性质【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y26y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：双曲线的离心率为3，c=3a，b=2a，取双曲线的渐近线y=2x双曲线的渐近线与x2+y26y+m=0相切，圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，m=8，故答案为：810已知椭圆C： =1的左焦点为F，点M是椭圆
13、C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，由已知求得M到右焦点的距离，然后结合三种圆锥曲线统一的定义得答案【解答】解：如图，由椭圆C： =1，知a2=25，b2=9，c2=a2b2=16，c=4则e=，点N是MF的中点，O是椭圆的中心，ON=4，|MF|=8，则|MF|=2a|MF|=108=2，设点M到椭圆C的左准线的距离为d，则，得d=故答案为：11设为锐角，若sin（+）=，则cos（2）=【考点】三角函数的化简求值【分析】利用整体构造思想，将cos（2）=cos（+）+（）利用诱导公式和同角三角函数
14、关系即可求解【解答】解：0，sin（+）=sin（+）=故，cos（+）=；又，sin（+）=cos（+）=cos（）=，sin（）=cos（2）=cos（+）+（）=cos（+）cos（）sin（+）sin（）=+=故答案为：012已知函数f（x）=，当x（，m时，f（x）的取值范围为16，+），则实数m的取值范围是2，8【考点】分段函数的应用【分析】x2时，函数单调递减，2x0时，函数单调递增，可得当x=2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值16，又当x=8时，y=2x=16，结合条件，即可求出实数m的取值范围【解答】解：x0时，f（x=12xx3，f（x）=3（x+2）（x2），x2时，函
15、数单调递减，2x0时，函数单调递增，当x=2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值16，当x=8时，y=2x=16，当x（，m时，f（x）的取值范围为16，+），则实数m的取值范围是2，8故答案为：2，813在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点若=，则AB的长为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件并结合图形可得到，这样代入进行数量积的运算即可得出，解该方程即可求出AB的长【解答】解：根据条件：=；解得故答案为：14设函数f（x）=（aR，e为自然对数的底数）若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0）=y0，则实数a的取值范围是1，e【考点】正弦函数的
16、图象【分析】由题意可得存在y00，1，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在0，1上有解，即ex+xx2=a，x0，1利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围【解答】解：由题意可得 y0=sinx01，1，f（y0）=，曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0）=y0，存在y00，1，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在0，1上有解，即 ex+xx2=a 在0，1上有解令g（x）=ex+xx2，则a为g（x）在0，1上的值域当x0，1时，g（x）=ex+12x0，故函数g（x）在0，1上是增函数，故g（0）g（x）g（1），即1ae，故答案为：1，e二
17、、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，（1）求sinBAD；（2）求AD及DC的长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由BAD=B+ADB，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解（2）由正弦定理可求AD，得AC=2AE=3，在ACD中，由余弦定理即可解得DC的值【解答】（本题满分为14分）解：（1）在ABD中，因为，所以，即sinB=，3分所以sinBAD=sin（B+ADB），因为：ADB=，所以
18、：sinBAD=7分（2）由正弦定理，得依题意得AC=2AE=3，在ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC22ADCDcosADC，即，所以DC22DC5=0，解得：（负值舍去）16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若，求ABC的面积；（2）设向量，且，求角B的值【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的计算公式，变形化简可得ab=15，借助三角函数基本关系计算可得sinC的值，由三角形面积公式计算可得答案；（2）由向量平行的坐标计算公式可得2sinB（12sin2）（）cos2B=0，化简可得，进而可得，即可得B的值
19、，分析B、C的大小关系，可得答案【解答】解：（1）根据题意，ab=15，又，C（0，）， 所以 （2）根据题意，2sinB（12sin2）（）cos2B=0，即，即，显然cos2B0，所以，所以或，即或，因为，所以，所以（舍去），即17如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上（1）设BOC=，征地面积记为f（），求f（）的表达式；（2）当为何值时，征地面积最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】（1）利用f（）=2S梯形OBCE，可求f（）的表达式；（2）求
20、导数，确定函数的单调性，即可求得最值【解答】解：（1）连接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcos，BC=Rsin，（0，）f（）=2S梯形OBCE=R2（sincos+cos）；（2）求导数可得f（）=R2（2sin1）（sin+1）令f（）=0，则sin=（0，）（0，）时，f（）0，（，）时，f（）0，=时，f（）取得最大，即=时，征地面积最大18如图所示，已知圆A的圆心在直线y=2x上，且该圆存在两点关于直线x+y1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P（1）求圆A的方程；（2）当时，求
21、直线l的方程；（3）（+）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由【考点】向量在几何中的应用【分析】（1）设出圆A的半径，根据以点A（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（3）由直线l过点B（2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论（+）是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论【解答】解：（1）由圆存在两点关于直线x+y1=0对称知圆心A在直线x+y1=0
22、上，由得A（1，2），设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，圆A的方程为（x+1）2+（y2）2=20，（2）当直线l与x轴垂直时，易知x=2符合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kxy+2k=0连接AQ，则AQMN，由，得，直线l的方程为3x4y+6=0，所求直线l的方程为x=2或3x4y+6=0，（3）AQBP，=0，（+）=2=2（）=2（+）=2，当直线l与x轴垂直时，得，则=（0，），又=（1，2），（+）=2=2=0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），由，解得，=（，），（+）=2=2=2（+）=10综上所
23、述，（ +）是定值，且为1019已知椭圆C： +=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当最小时，求点T的坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标【解答】解：（1）依
24、题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1（2）设T（3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），证明：由F（2，0），可设直线PQ的方程为x=my2，则PQ的斜率由（m2+3）y24my2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQTF知，直线TF的斜率，得t=m从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证由两点间距离公式得，由弦长公式得=，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=1，此时点T的坐标为（3，1）或（3，1）20已知函数f（x）=x2+ax4lnxa+
25、1（aR）（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0）和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）m对任意的x1，+）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（1）若，代入计算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切线互相垂直，整理得，设f（t）=8t26at+a2+5，则f（t）在t（2，3）上有零点，考虑到f（2）=3212a+a2+5=（a6）2+10，所以或，即可解得a的取值范围；（3）若函数f（x）在
26、区间（1，+）上有两个极值点，g（x）在区间（1，+）上有两个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论【解答】解：（1）由得，解得（2）函数f（x）的定义域为（0，+），由题意得，即，整理得，设，由，得t（2，3），则有8t26at+a2+5=0，设f（t）=8t26at+a2+5，则f（t）在t（2，3）上有零点，考虑到f（2）=3212a+a2+5=（a6）2+10，所以或，解得或8a11，所以a的取值范围是（3），令g（x）=2x2+ax4，由题意，g（x）在区间（1，+）上有两个不同零点，则有，解得设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，则x1和x2是g（x）在区间（1，+）上的两个不
27、同零点，不妨设x1x2，则，得且关于a在上递增，因此又由可得，当x（1，x1）时，g（x）0，f（x）0，f（x）递减；x（x1，x2）时，g（x）0，f（x）0，f（x）递增；当x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，f（x）递减，结合可得=设，则，所以h（x）在上递增，所以，从而，所以，又f（1）=0，所以存在m34ln2，使f（x）m，综上，存在满足条件的m，m的取值范围为34ln2，+）数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21已知点P是直线2xy+3=0上的一个动点，定点M（1，2），Q，是线段PM延长线上的
28、一点，且PM=MQ，求点Q的轨迹方程【考点】轨迹方程【分析】利用代入法，即可求点Q的轨迹方程【解答】解：由题意知，M为PQ中点，设Q（x，y），则P为（2x，4y），代入2xy+3=0，得2xy+5=022设圆x2+y2+2x15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程【解答】解：因为|AD|=|AC|，E
29、BAC，故EBD=ACD=ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4由题设得A（1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：23已知函数f（x）=ln（1+x），x0，+），f（x）是f（x）的导函数设g（x）=f（x）axf（x）（a为常数），求函数g（x）在0，+）上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值【解答】
30、解：由题意，令g（x）0，即x+1a0，得xa1，当a10，即a1时，g（x）在0，+）上单调递增，gmin（x）=g（0）=ln（1+0）0=0当a10即a1时，g（x）在a1，+）上单调递增，在0，a1上单调递减，所以g（x）min=h（a1）=lnaa+1综上：24在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），P是动点，且POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=，直线OP与QA交于点M问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足SPQA=2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程
31、；平行向量与共线向量【分析】（1）设点P（x，y）由于kOP+kOA=kPA，利用斜率计算公式可得，化简即为点P的轨迹方程（2）假设存在点P，Q使得PQA和PAM的面积满足SPQA=2SPAM，分两种情况讨论：一种是点M为线段AQ的中点，另一种是点A是QM的一个三等分点利用=，可得PQOA，得kPQ=kAO=1再利用分点坐标公式，解出即可判断是否符合条件的点P存在【解答】解：（1）设点P（x，y）kOP+kOA=kPA，化为y=x2（x0，1）即为点P的轨迹方程（2）假设存在点P，Q使得PQA和PAM的面积满足SPQA=2SPAM，如图所示，点M为线段AQ的中点=，PQOA，得kPQ=kAO=1，解得此时P（1，1），Q（0，0）分别与A，O重合，因此不符合题意故假设不成立，此时不存在满足条件的点P如图所示，当点M在QA的延长线时，由SPQA=2SPAM，可得，=，PQOA由PQOA，可得kPQ=kAO=1设M（m，n）由，可得：1x2=2（m+1），x1=2m，化为x1x2=3联立，解得，此时，P（1，1）满足条件综上可知：P（1，1）满足条件2017年4月19日
